考点28与三角函数有关的应用题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2018苏州期末）如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.【答案】18【解析】设BD＝xm，作AH⊥CD，垂足为H，记∠HAC＝α，∠HAD＝β，则α＋β＝45°.因为tanα＝，tanβ＝，且tan(α＋β)＝1，得＝1，即x2－15x－54＝0，即(x＋3)(x－18)＝0，解得x＝18.2.（2016苏州期中）如图1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.【答案】150【解析】根据图示，AC＝100m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100m.在△AMN中，＝sin60°，∴MN＝100×＝150(m)．3.（2017南通学情调研）如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.【答案】【解析】依题意得OD=100米，CD=150米，连接OC，易知∠ODC=180°∠AOB=60°，因此由余弦定理有OC2=OD2+CD22OD·CD·cos∠ODC，即OC2=10000+225002×100×150×∴OC2=17500，∴OC=50(米).4、(2019南京、盐城二模）某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？规范解答过O作OH垂直于AB，垂足为H.在Rt△OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.(4分)由图可知，点P处观众离点O处最远．(5分)在△OAP中，由余弦定理可知OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos(7分)＝400＋(40cosα)2－2·20·40cosα·(－cosα－sinα)＝400(6cos2α＋2sinαcosα＋1)＝400(3cos2α＋sin2α＋4)＝800sin＋1600.(10分)因为α∈，所以当2α＝时，即α＝时，(OP2)max＝800＋1600，即(OP)max＝20＋20.(12分)因为20＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米，(13分)答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分)【问题探究，变式训练】题型一设计中的最值问题知识点拨：设计中的问题往往是确定点的位置或者长度的问题，遇到这种问题就是转化为数学问题，是否成立，关键要注意定义域，所求的值是否在定义域内，或者是否合理。例1、(2019泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点．现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB.已知OA＝2千米，∠AOB＝.记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．(1)将y表示为θ的函数，并写出θ的范围；(2)请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．规范解答(1)因为点Q是弧AB的中点，所以∠AOP＝，PA＝PB，因为∠APQ＝θ，所以∠APO＝π－θ，∠PAO＝θ－，在△OPA中，由正弦定理，得＝＝，即＝＝，所以PA＝，OP＝，(4分)所以y＝PO＋PA＋PB＝＋＋＝＋，θ∈.(7分)(2)因为y＝＋，θ∈，所以y′＝，令y′＝0，得θ＝，(10分)当θ∈时，y′<0，当θ∈时，y′>0，所以当θ＝时，y有极小值，且是最小值，此时OP＝＝.(13分)答：(1)y＝＋，θ∈.(2)当OP为千米时，地下电缆管线的总长度最小．(14分)【变式1】(2019常州期末）某公园要设计如图一所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝1.6m，两根竖轴CH＝DG＝1.2m，记景观窗格的外框(如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不...