椭球状态定界的数值稳定算法摘要：针对带有未知但有界噪声的线性离散时间系统，提出了一种数值稳定的集员状态估计递推算法，算法采用椭球集合来描述状态的不确定性和噪声的界限，椭球形状矩阵的计算采用奇异值分解技术，以提高算法的数值稳定性，同时，给出了包含时间更新椭球和在状态空间中与量测量和量测噪声相一致的椭球交集的次最小容积椭球的计算方法，以避免受病态矩阵求逆的影响。蒙特卡洛仿真结果表明，数值稳定算法所得到的均方误差和椭球容积与最优算法得到的十分接近，此外，当存在舍入误差时，数值稳定算法可以保证形状矩阵的正定性，而最优算法有时难以保证，说明该算法比最优算法具有更好的数值稳定性。关键词：状态估计；稳定性；集员；奇异值分解：TP13文献标识码：A：0253-987X(2007)04-0453-05集员滤波是处理具有未知但有界(UBB)误差数据的一种滤波方法，其所得结果是包含被估计量真实值的一个集合，此集合的ChebysheV中心可作为被估计量的一个点估计，与Kalman滤波等基于随机噪声假设条件下的滤波方法相比，由于它只要求系统噪声有界，且噪声界已知，而不需要知道诸如噪声分布、均值和方差等统计特性，因而具有适用面广、鲁棒性强等优点，特别对于稳定的动态系统，由于未建模动态都可以表示为加性有界扰动，因而可将未建模动态所引起的扰动和其他噪声统一处理。集员滤波算法可分为椭球状态定界算法[1]、超平行体状态定界算法[2]、全对称多胞形状态定界算法[3]及多面体状态定界算法[4]，作为集员滤波的一种，椭球状态定界算法是比较有吸引力的算法，因为帽对其他集员滤波算法其精度较高而计算量低，且与Kalman滤波算法有很多相似之处。最近lO年来，有很多与椭球状态定界算法有关的研究成果被服道[1,5-7]，最优椭球状态定界算法[1,6]与Kalman滤波算法相似，同样存在数值稳定性问题，但这方面的研究却没有报道，本文借鉴了文献[8]中奇异值分解滤波的思想，针对最优算法的数值稳定性问题对其进行了改进，提出了椭球状态定界的数值稳定算法。1系统模型描述考虑如下形式的线性离散时间动态系统模型式中：xk∈Rn和zk∈Rk分别为系统状态和量测向量；wk-1∈Rl和vk∈Rm分别为未知的过程和量测噪声向量；Fk-1R∈n*n为非奇异状态转移矩阵；Gk-1∈Rm*l为过程噪声输入矩阵；Hk∈m*n为行满秩量测矩阵，假设噪声未知但有界，分别属于椭球集合式中：Qk∈Rl*l和Rm*n∈Rm*m为已知正定矩阵，已知系统初始状态x0属于椭球集合2最优椭球状态定界算法以下简要介绍最优算法，具体推导见文献[6]，其过程包括时间更新和测量更新两部分。2.1时间更新已知包含k-1时刻状态xk-1。的椭球其中参数pk>0，使椭球Ek|k-1的容积达到最小的参数pk由下式求解2.2量测更新设Ek为量测向量zk和量测噪声向量vk限定的状态集合，则包含集合Ek|k-1∩Ek的量测更新椭球Ek的中心2.3最优算法存在的数值稳定性问题从式(10)可见，最优算法存在正定矩阵与半正定矩阵相减的运算，在计算机上运行时，由于存在舍入误差，有可能使pk阵失去正定性，从而使滤波无法正常进行下去，例如可见pk的正定性难以保证。另外，文献[6]通过求一个与椭球ek容积的平方成比例的函数的最小值点，导出了使椭球Ek容积达到最小的参数所满足的式(14)，采用数值方法求解式(14)时，每次迭代都需要进行式(12)、式(13)和式(15)的矩阵计算(主要是Sk及其逆的计算)，会占用很多时间，且这些计算是不必要的，如果Sk病态或接近奇异，计算其逆会出现较大误差，从而使式(14)的根qk偏离fk(qk)的最小值点，这样结果的最优性难以保证，虽然理论上qk不会很大，因为若qk趋于正无穷，椭球Ek将趋于椭球Ek，椭球Ek一般是无界的，而最优椭球Ek不会趋于无界，但是，由于病态矩阵求逆，qk的计算结果难免很大，此时不但结果的最优性难以保证，还会造成不良后果，因为若qk很大，3椭球状态定界的数值稳定算法针对最优算法的数值稳定性问题，本文对其进行了改进。3.1时间更新假设xk|k-1|及参数pk已求出，pk-1和Pk|k-1|的奇异值分解成立，即3.2量测更新将式(12)代入式(13)后，对等式右端作适当处理，得从式(28)和式(31)可见，求解式(30)无需计算Sk及其逆，因而本文采取求函数f...