等幕和计算的一般公式及相矢问题(二郭民之(云南师范大学数学系，云南昆明650092)摘要：木文利用函数项级数，微分及排列组合等工具推导出了一个求自然数等幕和的一个一般公式同时还得到了一个有用的排列恒等式为键词：等幕和；微分；幕级数；排列组合中图分类号文献标识码：A文章编号：1007・9793(1999)05・0009・03记自然数集为N，/e及G各为〃中选k的排列数和组合数对等幕和广+2*+3人++/伙EN)(1)常用的结论为k=1,2,3时的情形,相应的公式为1+2+3+n(n+1)+"=2丄22+32+,2n(n+1)(2〃+1)1++n--6f3234-33+Qn2(n+l)21+十"4但对任一自然数R却没有一个一般的计算公式，只能逐步递推计算在求解有关等幕和的极限问题时,有的文献(如1)利用不等式来推导相应的结论8为了推出求等幕和(1)的一般公式，考虑幕级数工”的部分和*=0nS»(x)=l+x+x2++xn=(2)Jt=0显然S”s)关于兀的各阶导数存在且连续，因而当X-1时有S,®a)fS』)(l),这里S”g(x)表示Sn(x)对X的m阶导数为简便起见，记S=S”(x),由(2)式两边对兀求导得ns'二D八⑶4=0在(3)式两边乘兀后再对工求导得Sf+xSr,=f心"⑷*=0在(4)式两边乘X后再对x求导得H收稿日期：1999-03-150云南省教委棊金资助项目第一作者:郭民Z(1961・)，男，河南唐河人，副教授，主要从事概率统计方向的研究Sf+2xS"+X(xSy=g心八在(5)式两边乘x后再对x求导得"°S1+3xS'+3x(xS》'+x(x(xSz)')1-工kAxk'1(6)k-0如此不断进行下去,一般地，设S1+C：nxS〃+C~x(xS，f)'+clx(x(xS》')'++C7nX(x(x(xS,f)1)')'n=^km+ixk-1(7)成立,其中左边最后一项有ni-1重括号，在(7)式两边乘x后再对x求导得S'+C\xS"+Clx(xS'4-Clx(x(xS0f)'++Cmx(x(x(xS')')1+xS"+CmX(xS，f)'+CmX(x(xS')')'++CT'x(x(x(xS0')')'+CmX(X(X(XSY)f)'二S'+C：+xS"+G；+IX(xS')'+C：+IX(x(xSW++C：+仇(x(x(xS丫)')'+C；；：k(x()r=^km+2xk-1(注这里用了公式C^\=d；+I+rf)由数学归纳法知(7)式对任意自然数加均成立，由(7)式令x—1得所求公式Yr+*=lin[S'+Cbs"+C；nx(xSz+Civ(x(xS')')'++C：x(x(xS，f)1)')'](8)£=0A；f]注意(8)式右边括号中最后一项〃?-1重括号如分别取=1,2,3,4可得工疋二s/(l)+S/⑴Jt=o工疋二5/(1)+3S/V1)+ST⑴Jfc=onD仁S/(l)+7S”"(1)+6S”"(1)+S『)(l)i=0n工芒二S/(l)+155n71)+25S”"(1)+IQS严(1)+sP(l)A=0为了求出s软1)的值，可由(2)式两边逐次求导得Snf=1+2x+3x2+4A-3++nxn1Sn"=12+23兀+34^2++n(/?-\)xn'1一般地，对任意RWN有S0(x)=At+A*+ix+A*♦2X2++AIk(k>n时两边均为0)故c(k)□n(1)=Ai+A1+I+Ak+2++An可用下述引理求(9)式右边的值引理对任意自然数k.n(k^n)有下面的恒等式Ak+A1+AJt+2++An—tAJ+]k+1证明：利用组合公式U：!=cr1+Ci我们有-^—Ait!=l)!Cit!=kl(ci+ci+,)=An+k!(C*-I+Cn*!)=A*+A«■I+k\(Cn.2+C常2)©1994-2013ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsrescued.http://www.cnki.net=4专+A7卜i+A青・2++k!（C*+C*+*）=AJ+A1+I+A2++A皓即恒等式（10）成立（注当k>〃时（10）式两边均为0,当然也成立）.由引理结论知rh心；⑴）到此我们完全解决了等幕和（1）的计算问题，即利用一般公式⑻以及等式（11）来进行计算作为例子,我们给出了R二4,5时计算公式l4+24+34+n4=爲"（"+1）⑵？+1）（3〃2+3—1）l5+25+35+ny=吉"2（介+1）2（2,/+2〃・1）参考文献1刘秀芳一类数列极限的解法阜阳师范学院学报，199&（3）:67・69.AFormulaoftheSumofEqualPowerSeriesofNatura1NumberGuoMinzhi（YunnanNoimalUniversity,YunnanKunniing650092）ABSTRACTInthispaper,ageneralformulaofsumofequalpowerseriesofnaturalnumherisgiv2en.Aequalityofpennutatbnisgivenalso*KEYWORDSsumofequalpowerseries;differentiatbn;perniutatbn;combination©1994-2013ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsrescued.http://www.cnki.net
