也谈《孙子定理》的推广山东省济宁电大周祥德《孙子定理诌议》（2011-12-08人教网）一文，用“带余除法”表述《孙子定理》得到方程组：该方程组中，每个方程都是一个“带余除法算式”（以下简称“算式”），“算式”中当除数m1,m2,…mk是两两互质的正整数时，《孙子定理》给出了求上述方程组中未知数x的公式。但如果除数不两两互质，就不能直接用《孙子定理》求解，怎么办？众多数学爱好者，对此问题已经进行了深入研究并取得重要成果。笔者在本文中，对这个问题也谈点粗浅看法，不当之处，请批评指教。本文约定，若提到“x满足x=my+b”是指：若x被m去除，存在商数y（整数），使得余数是b。例如，因为13=3×5-2，故x=13满足x=3y-2，显然，x=13不满足x=3y-1。在这里需要熟悉两个定理：定理一：设m1,m2,…mk为正整数，b是任意整数，且D=[m1,m2,…mk]，则x同时满足①的充要条件是，x满足x=Dy+b②定理一表明：若x满足②式，则x必满足①式；反之，若x满足①式，则x也必满足②式。这种关系称①式与②式等价。定理二：设m1，m2为正整数，b1，b2是任意整数，且(m1,m2)=d，则x同时满足的充要条件是，d|b2-b1。由定理二得到两个重要推论：推论1，若m1=m2，则①式与②式等价。推论2，设(m1，m2)=m2，若x满足①式，则x必满足②式。下面，通过例题，说明由“算式”组成的方程组，当除数不两两互质时，怎样化成能用《孙子定理》去解的方程组。例如，求方程组：的解x的值。显然，这是一个由“算式”组成的方程组，由于除数5，6，14，8不两两互质，故不能直接用《孙子定理》去解，为此，1、首先把“算式”中除数是合数的化成互质数的乘积：②式中6=2×3；③式中14=7×2.2、以x为被除数，互质的因子为除数，互质因子所在“算式”中的余数为余数，由定理一得到与②式等价的（I）；与③式等价的（II），3、把原方程组中②式与③式分别换成（I）式和（II）式，便得到方程组：4、根据定理二，对这个方程组进行化简：（i）考察除数相同的②式和⑤式，因为2|9-（-1），由定理二的推论1可知②式和⑤式等价，故任舍一式，这里舍去⑤式（在“算式”后面打上×号，表示舍去的式子）。（ii）对除数不同但有最大公约数的⑥式和②式，因为（8,2）=2，且2|3-（-1），由定理二的推论2知道，若x满足⑥式，则x必满足②式，故舍去②式。至此，经上述化简，我们得到与原方程组关于x等价的方程组：因为这个方程组中，5，3，7，8两两互质，故可直接用孙子定理求方程组中x的值。这里省去求解过程，最后得到原方程组的解x=107+840n（n取任意整数）。