巧选坐标妙解题——也谈余弦定理的复数证法甘肃省庆城县庆城职专（745199）段凌霄众所周知，数形结合的思想是数学教学中的一个重要思想，而平面直角坐标系或者复平面则是数形结合的重要支撑和连接纽带，数学中的点、线、几何图形、函数图像等等都可以在平面坐标中表示出来，这样可以清晰直观地反映出几何图形的相对位置或者函数的变化趋势，为解题提供了方便。教材中对平面直角坐标系的定义如下：在“二维”平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴，就构成了直角坐标系。平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为X轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为Y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标(coordinate)）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应。而表示复数的平面称为“复数平面”，简称“复平面”。对于复数z=a+bi可以以坐标Z(a，b)来表示。其中，a表示的是复平面内的横坐标，b表示的是复平面内的纵坐标。和平面直角坐标系中一样，对于复平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标(coordinate)）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对，都有复平面上唯一的一点与它对应。对于一个确定的几何图形，如三角形或者四边形等等，顶点之间的相对位置是固定的，要在复平面内表示的话，则可以放在任何位置，而在实际学习过程中，巧妙的选取坐标系则可以使几何图形的表示更加简化，从而解题更加简便，起到事半功倍的效果。具体地说，就是尽可能把多边形的顶点放在坐标原点，边放在坐标轴上，把圆或者椭圆的中心放在坐标原点等等。以教科书上的一道练习题为例，用复数的方法证明余弦定理，有以下三种方案。方案一，在复平面内任意做三角形∆ABC，如图1所示，这样每个顶点、每一条边用复数表示起来都很复杂，更不要提证明余弦定理了。oxyABC图1方案二，在复平面内做三角形∆ABC，使A点落在坐标原点，如图2所示，设∆ABC三个顶点A、B、C所对应的复数分别为0、Z1、Z2，则复数Z1的模︱Z1︱=c,幅角为θ1，复数Z2的模︱Z2︱=b,幅角为θ2，又因为︱Z2-Z1︱=︱BC︱=a，设∠BAC=∠A=θ，则A=θ=θ2−θ1，而Z1=c(cosθ1+isinθ1),Z2=b(cosθ2+isinθ2)，又Z2-Z1=b(cosθ2+isinθ2)-c(cosθ1+isinθ1)=（bcosθ2-ccosθ1）+i(bsinθ2-csinθ1)，两边求模并取平方，则︱Z2-Z1︱2=︱BC︱2=a2=（bcosθ2-ccosθ1）2+(bsinθ2-csinθ1)2=b2(cos2θ2+sin2θ2)+c2(cos2θ1+sin2θ1)-2bc(cosθ2cosθ1+sinθ2sinθ1)=b2+c2-2bccos(θ2-θ1)∴a2=b2+c2-2bccosA图2这样，通过相等的复数两边求模并平方就可以证明余弦定理，但也可以看出，过程仍然比较复杂，还可以简化。将坐标系更简化，如方案三，在复平面内做三角形∆ABC，使A点落在坐标原点，边AB落在x轴上，如图3所示，设ABC三个顶点A、B、C所对应的复数分别为0，Z1，Z2，则复数Z1的模︱Z1︱=c,复数Z2的模︱Z2︱=b,幅角为角A，又︱Z2-Z1︱=︱BC︱=a，而Z1=c,Z2=b(cosA+isinA)，又Z2-Z1=b(cosA+isinA)-c=(bcosA-c)+ibsinA,两边求模并平方，则有︱Z2-Z1︱2=︱BC︱2=a2=(bcosA-c)2+(bsinA)2=b2(cos2A+sin2A)–2bccosA=b2+c2-2bccosA∴a2=b2+c2-2bccosA，余弦定理得以证明，过程就更简化了。如果在∆ABC的基础上做平行四边形ACBD，使D落在第四象限，则Z1-Z2=(c–bcosA)–ibsinA，而另一方面，复数Z1-Z2=AD=acos（-B）+iasin（-B）=acosB–iasinB图3根据复数相等的性质，由实部相等可以得到c–bcosA=acosB，即c=bcosA+acosB，射影定理得到证明。由虚部相等可以得到，bsinA=asinB，即b/sinB=a/sinA，正弦定理得到证明。对于余弦定理的复数证明，综合以上三种方案，可以看出，随着坐标系选取越来越简便，解题过程也越来越简便，并且可以得到更多的收获。由于在平面坐标系或者复平面内，只要图形确定了，则顶点之间的相对位置是固定的，由于坐标可以任意平移，我们就尽可能的把图形放在特殊的位置，如顶点在原点，边在轴上，则解题过程更加简便，而且事半功倍。