第二节函数的性质第1课时系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．[点拨](1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有>0.(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．[谨记常用结论](1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．1.函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．答案：[1，＋∞)2.如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析： 函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，∴≤，即a≤2.答案：(－∞，2]3.函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为________．解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝logu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)4.设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]5．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.答案：(－∞，－4)6．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为________．解析：由题设得解得－1≤x<.答案：函数的最值1.函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．[点拨](1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．1.函数f(x)＝在[2,6]上的最大值是________．答案：22.设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.解析：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.答案：3.若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.解析： f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.即解得答案：14.函数y＝的值域为________．解析：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，故所求函数的值域为[－1,1)．答案：[－1,1)5．函数f(x)＝的最大值为________．解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大...