备作业2.2基本不等式[A级基础稳固]1．设a,b为正数,且a＋b≤4,则下列各式中正确的一个是()A.＋<1B.＋≥1C.＋<2D.＋≥2解析：选B因为ab≤≤＝4,所以＋≥2≥2＝1,当且a＝b＝2时等号成立．2．3x2＋的最小值是()A．3－3B．3C．6D．6－3解析：选D3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3,当且仅当x2＝－1时等号成立,故选D.3．若x>0,y>0,且＋＝1,则xy有()A．最大值64B．最小值C．最小值D．最小值64解析：选D由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8,∴≥8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x＝4,y＝16.4．已知a>0,b>0,＋＝,若不等式2a＋b≥9m恒成立,则m的最大值为()A．8B．7C．6D．5解析：选C由已知,可得6＝1,∴2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54,当且仅当即a＝18,b＝18时等号成立,∴9m≤54,即m≤6,故选C.5.函数中,最小值是2的是A．B．C．D．【参考答案】D【解析】A.,当时,不符合题意;B.===,当时取等号,不符合题意;C.==,∵,∴,∴,∴不符合题意;D.,当且仅当时取等号,符合题意.故选D．6已知,,且,则的最小值为（）A．100B．81C．36D．9【参考答案】C【解析】已知,,且,所以,即,故.当且仅当是,即时等号成立.所以的最小值为.故选:C7．要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元．解析：设底面矩形的一边长为x,由容器的容积为4m3,高为1m,得另一边长为m.记容器的总造价为y元,则y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2＝160,2当且仅当x＝,即x＝2时,等号成立．因此当x＝2时,y取得最小值160,即容器的最低总造价为160元．参考答案：1608．已知实数,,且满足,则的最小值为______．【参考答案】【解析】,则,设,则由已知可得解得,当且仅当即时等号成立即参考答案为9.(1)已知x<3,求y＝＋x的最大值；(2)已知x,y是正实数,且x＋y＝4,求的最小值．解：(1)∵x<3,∴x－3<0,∴y＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1,当且仅当＝3－x,即x＝1时取等号,∴y的最大值为－1.(2)∵x,y是正实数,∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.当且仅当,即x＝2(－1),y＝2(3－)时取“＝”号．又x＋y＝4,∴≥1＋,故的最小值为1＋.[B级综合运用]311.已知,且,则的最小值为（）A．8B．12C．16D．20【参考答案】C【解析】由题得.当且仅当时取最小值.所以的最小值为16.故选：C.12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：选B不等式(x＋y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则(x＋y)≥(1＋)2≥9,∴≥2,即a≥4,故正实数a的最小值为4.13．(一题两空)已知a>0,b>0,且2a＋b＝ab.(1)则ab的最小值为________；(2)则a＋2b的最小值为________．解析：因为2a＋b＝ab,所以＋＝1.(1)因为a>0,b>0,所以1＝＋≥2,当且仅当＝＝,即a＝2,b＝4时取等号,所以ab≥8,即ab的最小值为8.(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋≥5＋2＝9,当且仅当＝,即a＝b＝3时取等号,所以a＋2b的最小值为9.参考答案：(1)8(2)914．已知a,b为正实数,且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2＝4(ab)3,求ab的值．4解：(1)因为a,b为正实数,且＋＝2,所以＋＝2≥2,即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立),所以a2＋b2的最小值为1.(2)因为＋＝2,所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2＝4(ab)3,所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3,即(2ab)2－4ab＝4(ab)3,即(ab)2－2ab＋1＝0,(ab－1)2＝0.因为a,b为正实数,所以ab＝1.[C级拓展探究]15．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)．(1)将2020年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2020年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大？解：(1)由题意,可知当m＝0时,x＝1,∴1＝3－k,解得k＝2,∴x＝3－,又每件产品的销售价格为1.5×元,∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0,＋(m＋1)≥2＝8,当且仅当＝m＋1,即m＝3时等号成立,∴y≤－8＋29＝21,∴ymax＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元．知识改变命运5