几个著名大数定律的证明及应用2007年8月第19卷第4期石家庄职业技术学院JournalofSiazhuangVocationalTechnologyInstituteAug.2007V01.19No.4:1009—4873(2007)04—0004—05几个着名大数定律的证明及应用路庆华(石家庄信息工程职业学院基础部,河北石家庄050035)摘要:大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现,介绍了几种常用大数定律及其证明方法,并分析了它们在理论和实际中的应用.关键词:大效定律;随机变量;数学期望;概率:O212.2文献标识码:A1引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数定律要研究的问题.2几个大数定律及其证明在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义:定义1设￡(n=1,2,…)为概率空间(n,F,P)上定义的随机变量序列(简称随机序列),若存在随机变数,使对任意￡》0,恒有:limP{l￡一l≥￡}=0或^—+∞limP{I￡一I≤￡f=1,则称随机序列{}依概率收敛于随机变量(也可以是一个常数),并用下面的符号表示:lim~.=(P)或￡一.—+∞定义2设{￡}为一随机序列,数学期望E(￡)存在,令=1∑,若Ii[一E()]=0(P),则称随机序列{￡}服从大数定律,或者说大数法则成立.定义3设{F(z)}是分布函数序列,若存在一个非降函数F(x),对于它的每一连续点z,都有limF(z)=F(z),F(z)F(z),则称分布函数序列{(z)}弱收敛于F(z).定义4设(z)(n=1,2,3,…),F(x)分别是随机变量￡(n=1,2,3,…)及的分布函数,若F(z)F(z),则称{￡}依分布收敛于,亦记为￡,且有:(1)若￡-二一,则毛;(2)Dr设c为常数,则-二一c的充要条件是c,逆极限定理:设特征函数列{(t)}收敛于某一函数f(t),且f(t)在t=0时连续,则相应的分布函数列{F(z)}弱收敛于某一分布函数F(z),而且f(t)是F(z)的特征函数.车比雪夫不等式:设是一个随机变量,它的数学期望为a,方差为,则对任意的正常数e恒有:一2P{l一日l≥￡}≤,(1)￡一.2或有P{l一日l《￡}≥1一.(2)￡一称(1)式或(2)式为车比雪夫不等式.这个不等式可解释为:对任意给定的正常数￡,可以作出两个区间(一oo,a一￡)和(n+￡,+oo).(1)式表示,在一次试验中,随机变量的取值落在(一oo,n一￡)U(n+￡,+oo)的概率小于等于d/￡.牧稿日期:2007一O4—3O作者简介:路庆华(1963一),男,河北石家庄人,石家庄信息职业学院剐教授,从事数学教学研究工作第4期路庆华:几个着名大数定律的证明及应用5大数定律形式有很多,我们仅介绍几种最常用的大数定律.定理1【?(车比雪夫大数定律)设随机变量1,2,…,,…相互独立,它们的数学期望依次为a.,a2,…,a,…,方差依次为仃;,仃;,…,仃,…而且存在正常数k,使得对一切i=1,2,…,有仃;《k,则对任意给定的正常数￡,恒有-ImP{ni=l￡』ni=1nfl《e证设=.=『1∑￡,则的数学期望和方差分别为:糜=Eni=l￡)=骞E￡=砉庾=.(骞￡)=-~i=l.￡=-~i=l由车比雪夫不等式,对任意给定的正数e,有≥P骞￡一耋nff《e}=P{I季一露I《￡}≥1一等=∑仃;1一三三}了》1一nk/n￡=1一k/n~,.￡.叭≥P骞￡一骞nff《e}》一k.对不等式取极限,则得一limPi=1￡一f《e推论1设随机变量.,,…,,…相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学期望和方差:E￡=a,D￡=仃(i=1,2,…),则对任意给定的正数1.im..P{f骞￡一nf《e}=.此推论表明:个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量,当很大时,它们的算术平均值几乎是一常数,这个常数就是它们的数学期望.定理2[2】(辛钦大数定律)设.,2,…,,…是相互独立的随机变量,而且有相同的分布,具有有限的数学期望E(k=1,2,…),则对任意给定的正数￡,有一limPn一nf《e)=1,其中n=E毒.注:定理2中条件比定理1的条件要宽,在定理1中要求...