王晓峰著《线性代数》习题解答第一章1.1.解下列方程组,并在直角坐标系中作出图示.1)21yxyx;2)5331yxyx;3)2221yxyx.解:1)将第一个方程减去第二个方程,得2y=-1,y=-1/2,再代入第个方程解得x=1+1/2=3/2,绘出图示如下图所示,两直线相将于一点22,13方程有唯一解.-2-1211yx232)将第二个方程除以3得3y5x,与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组,无解,绘出图示如下图所示3x+3y=5x+y=1-2-1211yx233)将第2个方程除以2,可以得到第一个方程,令y=t为任意实数,则x=1+t,方程组的解集为(1+t,t),图示如下图所示,方程的解集为一条直线.2x-2y=2x-y=1-2-1211yx232.用Gauss消元法解下列线性方程组.22,131)333693132472321321321xxxxxxxxx2)223252321321xxxxxx3)54212302433214243241xxxxxxxxxx4)033803403232132121xxxxxxxx解:1)对增广矩阵进行变换:00007510103012)(000075104721/13)(121153021153047213)(2)(333693131124721123323121rrrrrrrrr则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=10-3t,x2=5t-7,方程有无穷多解,解集为(10-3t,5t-7,t).2)对增广矩阵进行变换:121001012121025218/18168025213)(2123252112221rrrrr则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=-t,x2=2t-1,解集为(-t,2t-1,t).3)对增广矩阵进行变换:110001010010010100013)()32()35()43(34340003235100313201043001(7)46137003235100364104300112)/1()1(6137008201200364104300123364101203001120430012)(50412120300112043001142434443233242324241rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.4)此为齐次方程,对系数矩阵进行变换100030002116)/1(60013010213)(3901300324)(2)(3381340321323312323121rrrrrrrrrrrrr可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.3.确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.1)无解:2)有唯一解:;486362zyxkzyx123214yxykx3)有无穷多解:12524zyxzyxkzyx解:1)对增广矩阵作变换:1438006213)(486362121kkrrk因此,要使方程组无解,须使8-3k=0,解得k=8/3,即当k取值为8/3时,方程无解.2)对增广矩阵作变换:14612301232)2(141123212321412121kkrkrkrrk因此,如要方程组有唯一解,必须有0123k,即32k.3)对增广矩阵作变换044001110411333101110411)1()1(11215121411323121kkkrrkkkrrrrk因此,如要方程组有无穷多解,必须4-4k=0,即当k=1时,方程组才有无穷多解.4.证明:如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0,那么a=b=c=0.证:既然对所有的实数x都有ax2+bx+c=0成立,那么具体地分别取x=0,x=1,x=2代入上式也成立,则有02400cbacbac,这是关于a,b,c的齐...