让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1.为何正比例函数的比例系数是比k=yx，而反比例函数的比例系数却不是比k=xy？2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下k的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题:如图，RtΔAOB的顶点B(2，4)，双曲线y=kx经过点C、D，当以B、C、D为顶点的三角形与ΔAOB的相似时，则k=.1.常规性解法：通过设元，例如设C(m，2m)，则D(2，m2)，再根据条件列方程：(1)利用BC=2CD、BC2=4CD2、BD=√5CD或BD2=5CD2列方程；(2)利用xD−xC=2(yC−yD)列方程；(3)利用“一线三等角”模型、和xC⋅yC=xD⋅yD列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性.但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！2.挖掘隐含性质，巧解此题(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点C作CP⊥y轴于P，连接PA，直线CD分别交坐标轴于点M、N.则有①PA∥CD；②PC=AN，PM=AD；③MC=DN，MD=CN.基于以上这些性质，有如下解法.(2)我的第一种解法（整体思想）：由ON=2OM，AN=2AD=2PM可得，ON−AN=2(OM−PM)，即OA=2OP，于是OP=12OA=1，PC=12OP=12，……(3)我一个同事的解法（斜边转直比）：由MC:OC:CN=1:2:4，MC=DN可得，MC:CD:DN=1:3:1，转为横比，xC:(xD−xC):(xN−xD)=1:3:1，因此xC=14OA=12，……(4)我一个学生的解法（斜等转直等）：由MD=CN得xN−xC=OA=2，则yC=12(xN−xC)=1，……(5)我的第二种解法（平行导角度）：由PA∥CD得，∠PAO=∠MNO=∠B，于是OP=12OA=1，……(6)下面我们要着重解决两件事：①上述性质是否永远成立？如何证明？②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质1.如图，双曲线y=kx与矩形OABC边交于点M、N，直线MN交坐标轴于点D、E.①如图1，若AM:AB=1:2，则CN:CB=；②如图2，若AM:AB=1:4，则CN:CB=；③如图3，若AM:AB=1:n，则CN:CB=，直线MN与AC的位置关系是，EN与MD的大小关系.图1图2图32.①如图1，双曲线y=kx与直线DE交于点M、N，MA⊥y轴于点A，NC⊥x轴于点C，请探究直线MN与AC的位置关系，线段EN与MD的大小关系.②如图2，双曲线y=kx与直线EF交于点M、N，MA⊥y轴于A，MC⊥x轴于C，ND⊥y轴于D，NB⊥x轴于B，请探究直线MN与AB、CD的位置关系，以及线段ME与FN的大小关系.图1图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线y=−x+4反比例函数y=kx(x>0)图象交直线AB于点C、D，且AB=2CD，则k的值为.(1)常规方法（斜长转直长）：CD=12AB=2√2，则xD−xC=√22CD=2，可设C(m，4−m)，则D(m+2，2−m)，列方程解决；(2)口算巧解（斜边转直比）：由AC=DB，AB=2CD得，AC:CD:DB=1:2:1，转为横比得，xC:(xD−xC):(xB−xD)=1:2:1，则xC=1，yC=4−1=3，……2.同类变式题：如图，直线y=−x+2交坐标轴于点A、B，双曲线y=kx交直线AB于点C、D.若CD=2AB，则k的值为；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29）如图，点A(2，2)，B，C在双曲线上，∠BAC=45o，AB分别交x，y轴于D，F，AC分别交x，y轴于D，E.(1)求ΔDOE的面积；(2)求证：SΔADE=S四边形DBCE.4.原创清新小题和近年的中考题：(1)如图1，AB=BC，ΔAOB的面积为3，则k的值为.(2)如图2，点A，B在双曲线y=kx上运动，AB⊥x轴，AC=BC.①在运动过程中，ΔABC的面积是不是定值？答：；②若k=2√3，且Δ...