扰动条件下Hodgkin—Huxley神经元模型方程数值解法【摘要】总结神经元结构及其电活动的数学模型，以典型的Hodgkin-Huxley的数值计算为例分析该类方程的计算方法。【关键词】Hodgkin-Huxley神经元模型方程数值解法【】G【文献标识码】A【】0450-9889(2013)0500152-02著名的Hodgkin-Huxley(以下简称H-H)模型成功地解释了众多动作电位及其相关的理论和实验问题。该理论是1952年提出的，它是复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。以后的很多年里，有众多的学者对该问题展开了进一步的研究。本文拟通过该模型计算生活中存在的环境电磁场对于细胞的作用，计算环境电磁场对于神经系统电活动的影响。以下主要总结神经元电活动方程的类型，并以典型的H-H的数值计算为例分析该类方程的计算方法。一、神经元结构及其电活动的数学模型神经系统由神经细胞和神经胶质细胞组成，神经细胞具有传导信号和处理信号的能力。神经元能感受细胞体外部的刺激信号，接受来自其他神经细胞的神经冲动。神经元通过突触输入动作电位实现对神经信息的传导。神经电活动具有复杂的非线性动力学行为，与经典物理学中的线性方程(如Maxwell方程和热力学方程等)不同，非线性方程很难找到解析解。当Hodgkin和Huxley实现了对乌贼轴突膜离子通道特性的经典分析之后，数值仿真成为定量研究生理系统的一个基本手段。作为补充的方法是对生理系统简化的数学模型的定性分析H-H模型最先是根据实验数据拟合得到的方程组，对于神经系统的电活动特性能够给予很好的解释，该模型所考虑的钾离子、钠离子以及氯离子的通透性对于其他细胞同样适用，因此本文采用H-H模型来考察工频环境电场激励下神经元的应答特性，其中神经元的H-H模型方程如下:I=Cm+gNam3h(V-VNa)+gkn4(V-Vk)+gL(V-VL)二an(1-n)-?茁rm二am(1-m)-？茁mm=ah(1-h)-?茁hh(1)其中an=,?茁n=0.125exp(-)am=,?茁m=4exp(-)ah=0.07exp(-),?茁h二(2)K+通道的电导gK=360S/m2,Na+通道的电导gNa=1200S/m2,Cl-通道的电导gcl=3S/m2,以及它们相应的反转电位与静息电位差分别为VK=-0.012V,VNa=0.115V,Vcl=0.010613V,细胞膜电容Cm=0.0091F/m2oH-H模型是量化描述神经元电生理最成功的模型之一，对于该领域的理论模型研究神经电特性的实际测量都提供了新思路。H-H模型相关的实验技术和理论方法已成为细胞电生理研究的成功模式，通过该模型可直接得到其他不同兴奋细胞的电生理模型。从非线性的研究角度来看，H-H模型具有多变量强耦合的特点，由四个微分方程组成，很难得到精确解，对此，数学家将其视为各种非线性动力学分析理论和数值方法的试验模型，进一步给出其数值解。二、外界电磁场对神经元电活动的影响(一)外界扰动条件下H-H模型的建立。在实际环境中存在诸多电磁噪声源，例如手机、家用电器、调频发射器等,为了了解这些电磁场噪声源发出的噪声对于人体的影响，首先，需要由电动力学原理分析诸多电磁波在人体表面的发射与透射特性，然后还需要对其在人体内的传播情况以及与人体内的组织的相互作用进行研究。由菲涅尔公式可计算人体处于不同辐射情况下皮肤组织对于电磁波的透射特性，电场方向垂直皮肤时候入射透过皮肤进入人体的电磁波可表示如下：Er=EO(3)电场平行皮肤时候入射透过皮肤进入人体的电磁波可表示如下：Er=EO(4)皮肤对于电磁波的折射特性与皮肤的电磁性质以及结构相关，？着为皮肤的介电常数，随着外界频率及人体不同部位的变化而变化，？兹为入射角，？兹'为折射角。对于人体非磁性介质来说，？兹与？兹'的关系满足：=(5)可得垂直入射情况下和平行情况下电磁场不同的入射角在人体表面的反射与折射情况。详见图1。然后，由电磁波在介质内传播过程中的衰减特性计算不同深度电磁场的特性：E(x)=Erexp-?棕(6)在低频情况下，？滓2/?着2?棕2»1,因此，透过皮肤的电磁场在人体内的衰减较小，在高频的情形下才表现出比较明显的衰减特性，即趋肤效应。因此，在低频情况下，在考虑入射方向与皮肤面垂直情形时，环境电场及其在人体内耦合的结果为：E=EO(7)不同的外加电磁场的波形特性产生的生物效应也不尽相同，在不同频率作用下，生物组织所表现的介电及电导等特...