关键字介值性定理的证明及应用摘要通过巧妙的构造辅助数列，应用致密性定理來证明闭区•间上连续函数的介值性定理，以及介值性速理在解不等式及证明方程根的存在性中的应用.介值性沱理;辅助数列(函数)；致密性沱理;柯西收敛准则;垠值性沱理中图分类号ProofofintermediatevaluetheoremandapplicationsWangYan(SchoolofMathematicsandStatisticsHeXiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)AbstractThroughcleverconstructauxiliaryseriesapplieddensitytheoremtoproveintemiediatevaluetheoremofcontinuousfunctiononaclosedintervalandtheintermediatevaluetheorem^applicationofthesolutionofinequalityandprovetheexistenceoftheequations5roots.KeywordsIntermediatevaluetheorem;Auxiliaryseries;Densitytheorem;Cauchyconvergencecriterion;Mostvaluetheorem.介值性定理是数学分析课本中有关闭区间连续濒数的一个重要的定理，也是微分论中重要的基本定理2—，这一定理虽简单，但应用广泛，在微积分理论中不少定理的证明要用到该定理.介值性定理是闭区间上连续函数的重耍性质在数学分析教材中一般应用有关实数完备性的6川个基木定理中的确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理来证明.根据函数极限的归结原则，函数极限问题往往转化为数列极限问题来解，使得构造一个适当的辅助数列变成解决问题的关键，在这里通过巧妙地构造辅助函数和辅助数列，应用最值性定理，致密性定理及柯西收敛准则来证明.1介值性定理及其推论的证明介值性定理设函数/⑴在闭区间[a,b]±连续，且/⑷如'@),若U是介于.f(d)与/(b)之间的任何实数(/(a)<w</(/?)或/(a)〉u>/(/?)),则至少存在一点歹，使得推论1(根的存在性定理)若函数/(兀)在闭区间[a,b]±连续，且/(6/)-/(/2)<()(于⑷J(b)异号)则至少存在一点口讪,使得f(§)=0・推论2设/(兀)在区间(Q,/”内连续，贝I」(1)设fM=0在区间仏“)内没有实根，则/⑴在(“)内恒正或者恒负;---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(2)若/(x)=0在区间仏方)内有”个不同实根X］,兀2,…兀“，且西<a2则这“个实根将区间(Q,b)分成”+1个小区间(。,兀［),0］,兀2).・0)，在每个小区间内/(兀)恒正或者恒负.1.1应用最值性定理证明介值性定理证明假设加与M分别是函数/(©在闭区间［a,列上的最小值与最大值，&是加与M之间的任意数，如果m=M则函数/(兀)在区间［d,列上是常数.显然，定理是成立的在,如果m<M,根据最值性定理在闭区间［a,b］上必存在两点西与x2,使f(xl)=m,/（x2）=M・不妨设xl<x2,Ka<<x2<b,已知于（州）5u^/（兀），女口果_/'（禹）="或f（x2）=u,贝0c=x｝或c=%2,定理成立.现只需证明f(Xl)<u<f(x2)的情况，作辅助函数^(x)=/(%)-«,根据连续函数的四则运算性质，函数0(切在闭区间［a,切上连续，从而在闭区间X，兀］上也连续，且.2m^(Xl)=/(Xl)_W<0与0(兀2)=/*(兀2)-％>0,根据根的存在性定理(零点定理),在区间(a,,x)内至少存在一点g,使0忆)=0,即"=0,即f^)=U,则定理成立…1.2应用致密性定理证明介值性定理这里我们不妨设/(a)<u</(fe),令g(x)=/(x)-w,则g也是［讷上的连续函数，且g@)vO，g(b)〉0・于是介值性定理的结论转化为：存在一点ga,b),使得g($)=0・这个简化的情形就是根的存在性定理，因此，耍证明介值性定理只要证根的存在性定理即可.首先，证明下面两个引理：引理1［2］设匕」是有界数列，而且lirn(x„+1-xJ=O,则匕」的聚点的集合是［a,b］,其中a=limr”，b-linxr”・XTOOX—>8证明根据定义，。与b都是｛龙”｝的聚点，故我们只耍证明G与〃之间的任意实数x(a<x<b)都是｛兀｝的聚点即可.先证，对丁•任给的£>0及任给的正整数n；,必有n>町存在，使得化.-x<£・事实上，由假定知必有正整数吗"存在，当/2>n；时恒有|x„+1-a;|<^,令%=max｛q）',q「，则数列｛兀“｝爲+】中至少必有两项兀”'和如存在，使<x,x„.>x（否则，例如，无小于％的项，---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---现取刍=1,N】=l,则存在入（耳>1），使一兀V丄；乂取乞，MF—，则存在使235-*£（心23…），故％k*》x，A；-X<1...