第七章习题7-11.略.2．求点(a,b,c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标．xoy面的对称点是(a,b,-c);1）点（a,b,c）关于解：（xoz面的对称点是（a,-b,c）;关于yoz面的对称点是(-a,b,c关于);（2）点（a,b,c）关于x轴的对称点是（a,-b,-c）;关于y轴的对称点是（-a,b,-c）;关于z轴的对称点是（-a,-b,c）;(3)点（a,b,c）关于原点的对称点是（-a,-b,-c）;3．自点P(x,y,z)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．0000P(x,y,z)(x,y,0)xoy;作解：自点面的垂线，垂足坐标是000000(x,0,z);xoz面的垂线，垂足是作00(0,y,z);yoz面的垂线，垂足是作00P(x,y,z)(x,0,0);x自点作轴的垂线，垂线是00000(0,y,0);y作轴的垂线，垂足是0(0,0,z).z作轴的垂线，垂足是04．求点M(4，-3，5)到各坐标轴间的距离．M(4,0,0)M(0,?3,0)，，M分别作x轴，y轴，z轴的垂线，垂足分别为解：自点21M(0,0,5)M(4,?3,5)到x轴，y，则点轴，z轴的距离分别为：3222?34.(5?0)(?3?0)?d|MM|?(4?4)??1x222?41.(5?3?3)0)(4?|MM|??0)??(?d2y222?5.?0)5)?(5?(4?0)(??3?|d?|MM3zＯz面上，求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，-2，2)在5．y和C(0，5，1)等距离的点．P(0,b,c)|PA|?|PB|?|PC|,解：设所求点则2222221)?c?5)?(?(b?(b(?1)?c?2)16?(?2)?c?2)(b?9即538385??0,?,?.??b?,?c故所求点的坐标为解得,??3333??16．试证明以三点A(4，1，9)，B(10，-1，6)，C(2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．222?36?4?91)??(6?9)?|AB|?(104)7?(?1?证：222?1)?(3?9)??4?|AC?|4?)9?(43(2?67222?1)?(3?6)??6140?)?(4?25972(|BC?|2?222|BC?||?|AC||AB||AC|AB|??,且?ABC是等腰直角三角形所以.习题7-2AB?aAD?b，M为对角线的交点，试用向量,a1．在平行四边形ABCD内，设和bMA,MB,MCMD．表示向量和,bAD??a,BC?DC?AB解：（如图）b??a?AB?BCACab?BA?AD?BD?7-1图11?AM?MA????(a?b)AC于是：22111)?b)??BD??(b?a?(aMB??BM22211)bMC?AC?(a?2211)MD?BDab??(222．试用向量证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．.?MBMC,DMAM?证：（如上题图），依题意有.DCDM??AM?MB?MCAB?于是ABCD.故是平行四边形a的终点坐标．，-2)，求向量3i=-2j+3k的始点为(1，．已知向量3az,x,y则),a的终点坐标为(设解：,kz?2)j(1)i?y?3)?(?(a?x,3k?2ia??j从而有而22?x?1?1x????1?yy?3??2解得????1?z?2?3z??.）的终点坐标为（2，1，1所以，向量a．a-3b+4c4．已知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,2),c=(4,-1,-3)，求23)?3(2,2,2)?4(4,?1,?3b?4c?2(3,5,?1)?2a解：12)?(16,?4,???(6,10,?2)(6,6,6)20)?(16,0,?MMMMMM平，求向量及与，并求(1，-1，0)5．已知两点M(0，1，2)和M21212211行的单位向量．2)?(1,?2,?i?2j?2k??MM(1?0)i?(?1?1)j?(0?2)k：解212223??2)?1?(?2)?(|MM|21MM1122??2??(1,?2,e???2)??,?,?MM与平行的单位向量??213333|MM|??2221221????,,??,,?MM平行的单位向量为即与.或????21333333????7-3习题?ba?a,b)(，求(1)a·a,(2)a·b,(3)(2a+3b)·(3a-b1．已知)=2,．=1,3π2a?a?|a|?4a?b?|a|?|b|cos(a,b)?1?2?1?cos）2解：（1）（3(3)(a2?b3?)a(?3b?)a(?2b?3a)?3a?(2b?3b?)a?a6?b?a9?a?2b?b?b?6a?a?7a?b?3b?b?6?4?71??31??282．设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求(1)a·b及a×b；(2)(-2a)·3b及a×2b；(3)(a+b)×(a-b)．a?b?(3,?1,?2)?(1,2,?1)?3?1?(?1)?2?(?2)?(?1)?3(1)解：ijk?1?2?5i?3a?b?j?7k12?1(?2a)?3b??6a?b??18（2）i?j?7k)?1i0?a?2b?2(a?b)?2(52j?1k3b?a?b?b)?a?a?b?a?aa?b)?(a?b)?a?(?b)?(?b?(3)(a?b)(k?2j?14?j?7k)??10i??2(a?b)??2(5ic·a．·,计算a·b+bc+3．已知a，b，c为单位向量，且满足a+b+c=0)?b?ca?b?c)?(a0?(解：cb?c?c?c?a?c??b?a?c?b?a?b?b?b?a?a?a?222)ac?(?b?ba?|?|bc|?c|?|?2a?|)ac??b?b?c??3?2a(3????b?c?caa?b.故2Ｏb｜．k,且｜a｜=2在x｜y坐标面上求向量a，使其垂直于向量b=4i-3j+54．,0),ya?(x0b?a?ba?,由解：设向量得0y?4x?3,即2222200y?x?2x?y?216?9?25?10|b2|a|?|.由,得即??03y?4x?26x?x?62????或解方程组得???22200?x?y22y??8y?8?????2,0)62,2,8(62,0)?8(?a.为所以所求向量或．的面积S(2C，4，7)为顶点的△ABC...