考点29曲线方程及抛物线【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2016镇江期末）已知A为曲线C：4x2－y＋1＝0上的动点，定点M(－2,0)，若AT＝2TM，求动点T的轨迹方程．2、(2017无锡期末）如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，证明：直线AB的斜率为定值．3、(2017苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，过点M(0，－2)作抛物线的切线MA，切点为A(异于点O)．直线l过点M，与抛物线交于B，C两点，与直线OA交于点N.(1)求抛物线的方程；(2)试问：＋的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．4、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．(1)求p，t的值；(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．【问题探究，变式训练】题型一轨迹问题知识点拨：求轨迹问题常见的有两种方法：一是定义法；二是轨迹法，轨迹法的步骤是：1、设点(x，y)，2、根据条件列关系；3、化简，整理。例1、(2019镇江期末）已知定点A(－2，0)，点B是圆x2＋y2－8x＋12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．【变式1】(2017苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足OC＝tOM＋(1－t)ON(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任意作一条抛物线y2＝4x的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．【变式2】(2018苏中三市、苏北四市三调）在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，直线l过点F且与抛物线相交于A，B两点(点A在第一象限)．(1)若直线l的方程为y＝x－，求直线OA的斜率；(2)已知点C在直线x＝－p上，△ABC是边长为2p＋3的正三角形，求抛物线的方程。题型二曲线方程及抛物线中的直线问题知识点拨：抛物线中的直线问题主要涉及到求直线的方程或研究直线过定点的问题。求直线主要是设直线方程或者斜率。直线过定点问题主要方法是求直线的方程，通过研究方程定点过定点。例2、(2019苏锡常镇调查（二））在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【变式1】(2019无锡期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M(x，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M到直线x＝－1的距离等于1.(1)求曲线C的方程；(2)若直线y＝k(x＋2)与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补．【变式2】(2019南京三模）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.(1)求p的值；(2)若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．【变式3】(2017苏州暑假测试）已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，点R(1,2)在抛物线C上．(1)求抛物线C的方程；(2)设过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线l：y＝2x＋2于点M，N，求线段MN的长度最小时直线AB的方程．【变式4】(2016苏北四市摸底）如图，已知抛物线C：x2＝2py(p>0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.(1)求抛物线C的标准方程；(2)直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．题型三曲线方程及抛物线的综合问题知识点拨：曲线方程及抛物线的综合问题主要涉及的问题求三角形的面积问题，线段长的问题，遇到这种问题要建立目标意识，建立函数关系式，通过研究函数确立最值问题。例3、(2019扬州期末）已知直线x＝－2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l...