专练11（解答题-导数）（20题）-2022年高考数学考点必杀300题（浙江卷）1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)判断函数的极值点和零点个数；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2)1,1;(3).【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的单调区间判断增减性即可求出函数的极值，再结合增减性及特殊值可求函数零点；（3）原不等式转化为恒成立，利用导数求函数的最大值即可求解.(1)函数定义域为，因为，所以曲线在处的切线方程为，即.(2)由（1）知，当时单调递增,当时单调递减，所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，所以函数的极值点只有1个，因为,当时,当时，所以只有一个零点.(3)要使恒成立，即恒成立，令，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在时取得极大值也是最大值，，要使恒成立，则,即实数k的取值范围是.2．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知函数.(1)若在定义域上单调递增，求ab的最小值；(2)当，，有两个不同的实数根，，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导得二次不等式，根据二次不等式的恒成立列式计算；（2）将有两个不同的实数根，转化为，是方程的两个根，利用韦达定理得，进而通过换元，将转化为关于的函数，利用导数研究其最值即可.(1)恒成立，即恒成立，，所以，，即ab的最小值为.(2)有两个不同的根，，则，是方程的两个根，所以，，所以，，.，令，，在单调递增，所以，令，在上单调递增，所以，所以，即.【点睛】方法点睛：1.对于证明题，我们可以构造函数，转化为函数的最值来研究；2.含双变量的问题，要通过计算转化为一个变量的问题来解答.3．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知函数，为自然对数的底数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：．【答案】(1)函数的单调性见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，再按a值的正负讨论符号作答.(2)根据给定条件将不等式等价转化，分别证明不等式和都成立作答.(1)函数的定义域为，求导得：，当时，，则在上单调递增，当时，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)当时，，，令，则，当时，，当时，，于是得在上递增，在上递减，则有，即，当且仅当时取“=”，令，求导得：，显然函数在上单调递增，而，则当时，，即，当时，，即，于是有在上单调递减，在上单调递增，则，即，当且仅当时取“=”，因不等式与等号成立的条件不一致，则，所以成立.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题推理得解.4．（2022·浙江·模拟预测）设函数，．关于的函数表示在的最小值．(1)求的值；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）当时，可得出，利用导数分析函数的单调性，可求得的值；（2）注意到，只需验证，当且仅当，等号成立，利用导数分析函数的单调性，求出函数在上的最小值，即可得解.(1)解：当时，，．所以在单调递增，，所以．(2)解：注意到无论取何值，，从而．下面验证，当时，上述不等式的等号能成立．当时，，．设，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故在区间单调递减，在区间单调递增．而，，，故有两个零点，分别为和．当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因此在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．所以．面，所以．综上所述，当时，取得最大值．【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.5．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中高三阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，点C为抛物线上一点，且的重心为抛物线焦点F.(1...