练练练习习习题题题（（（三三三）））向向量量与与线线性性方方程程组组2007-12-28国际关系学院1(一）向量β能否由α1,α2,α3表示出来?若可以表示，请写出表达式。⑴α1=(1,3,2),α2=(3,2,1),α3=(−2,−5,1),β=(4,11,3)⑵α1=(0,1,−1),α2=(−1,0,1),α3=(1,−1,0),β=(1,1,−2)⑶α1=(1,1,1,1),α2=(−1,0,2,1),α3=(1,2,4,3),β=(2,0,0,3)2007-12-28国际关系学院2α1=(1,3,2),α2=(3,2,1),α3=(−2,−5,1),β=(4,11,3)解(1)令α1,α2,α3的一个线性组合等于β,即有k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=β用分量写出是k的线性方程组，又可写成：AX=b。其中k14X=k2b=11k332007-12-28国际关系学院3下面用初等变换法解矩阵方程从而求得k1,k2,k3。(A,b)=由最后的矩阵（A化为单位阵）得：k1=2,k2=0,k3=−1即β=2α1−α3。且表示式唯一。2007-12-28国际关系学院4α1=(0,1,−1),α2=(−1,0,1),α3=(1,−1,0),β=(1,1,−2)⑵．(A,b)=则有β=α1−α2（此线性组合表示式不唯一,如β=2α1+α3）2007-12-28国际关系学院5α1=(1,1,1,1),α2=(−1,0,2,1),α3=(1,2,4,3),β=(2,0,0,3)⑶．(A,b)=R(A)≠R(A,b)线性方程组无解，即β不能由α1,α2,α3线性表出。2007-12-28国际关系学院6(二）向量组β1,β2,β3可由向量组α1,α2,α3线性表示。试将向量组α1,α2,α3由β1,β2,β3线性表示解(A,b)=2007-12-28国际关系学院72007-12-28国际关系学院8解法二1−11Q11−1≠0−1111α12=0α21α322007-12-281−11−11211=0−1−11112102β111β222β3012国际关系学院10211220129(三）．（判断题）1、向量组α1,L,αs(s≥2)中，至少有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组α1,L,αs线性相关；2、向量组α1,L,αs(s≥2)线性相关的充要条件是：组中任一向量均能被其余向量线性表示。3、如果存在不全为0的数k1,L,ks，使k1α1+L+ksαs≠0，则α1,L,αs线性无关。4、若对任一组不全为0的数k1,L,ks总有k1α1+L+ksαs≠0，则向量组α1,L,αs线性无关。2007-12-28国际关系学院105、如果存在数k1=0,L,ks=0有k1α1+L+ksαs=0,则向量组α1,L,αs线性无关6、如果向量组α1,L,αs的一个线性组合等于0向量。则向量组α1,L,αs线性相关。7、如果存在一组全不为0的数k1,L,ks，使k1α1+L+ksαs=0，则α1,L,αs线性相关。8、α1,L,αs(s≥2)线性无关的充要条件是：任意两个向量均线性无关。2007-12-28国际关系学院11本命题：由α1,L,αs线性无关当然有任意两个向量均线性无关。（如若不然，有某两个相关，则肯定全组相关了。）但任意两个无关，全组未必无关，如：α1=(1,0),α2=(0,1),α3=(1,1)显然满足两组无关，但α1,α2,α3是相关的，α3=α1+α2答案：1对，2错，3错，4对，5错，6错，7对，8错。2007-12-28国际关系学院12(四）（选择题）设矩阵A为m×n矩阵，R(A)=r＜n,则[c](a)A的列向量组中，任意r个向量线性无关。(b)A的列向量组中，任一向量可由其他r个列向量线性表示。(c)A的列向量组中，任意r+1个列向量线性相关。(d)A的任一r阶子式不等于0。2007-12-28国际关系学院13矩阵的秩=r=列秩。列向量组的秩为r。有某r个列向量无关。但任意r+1个列向量必相关。不能得到任意r个列向量无关。(a)不成立。由r＜n,列向量组线性相关，也只能得出“至少有一个列向量可由其余向量线性表示。（b）不成立。R(A)=r,是说至少有一个r阶子式不为0.（d）不成立。(a)、(b)、(d)均不成立，应选（c)。2007-12-28国际关系学院14（五）.选择题⑴、齐次线性方程组Ax=0（A为m×n矩阵）仅有零解的充要条件为A的[c]a、行向量线性无关;b、行向量线性相关c、列向量线性无关;d、列向量线性相关⑵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是[b]a、r=n;b、r＜nc、r≥n;d、r＞n2007-12-28国际关系学院15(六）（选择题）向量组α1,α2,L,αs的秩为r，则下列结论那个不一定成立。[c](a)向量组α1,α2,L,αs中至少有一个r个向量的部分组线性无关。(b)向量组α1,α2,L,αs中任何r个向量的线性无关部分组与α1,α2,L,αs可互相线性表示。(c)α1,α2,L,αs中r个向量的部分组均线性无关。(d)α1,α2,L,αs中r+1个向量的部分组均线性相关。答：只有(c)...