探究数列典型问题李沫兰摘要：数列是我们从中学时期就会接触和涉及的一个知识点，虽看似简单却蕴含着很玄妙的数学规律，值得我们去深入探讨。我们通过了解数列的产生和发展过程，可以发现数列中所代表和体现的数学规律之美。其中，菲波那切数列更能体现出数学的应用之美。关键词：数列;历史;应用;菲波那切数列：G63：A：1673-9132（2016）10-0245-151DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.10.036一、数列的概念数列（sequenceofnumber）是一列有序的数。它是以正整数集或它的有限子集为定义域的一种函数。数列中所包含的每一个数叫做这个数列的项。排在这个数列第一位的数称之为首项（通常也叫做数列的第1项），而排在第二位的数称为数列的第2项……依次类推排在第n位的数则称为这个数列的第n项，通常使用来an表示。开始接触并学习函数的知识以后，可以发现，数列其实是一种比较特殊的函数。它的特殊性主要表现在数列的定义域和值域上。一般的，数列可以被看做是一个定义域为正整数集N*或者其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能被省略。可以看到用函数的观点认识数列是一种重要的思想方法，一般情况下，函数通常有三种表示方法，同样的数列也有三种表示的方法：1.列表法;2.图像法;3.解析法。其中解析法包含以通项公式表示数列和以递推公式表示数列。因为函数不一定有解析式，所以同样的数列也并非都有通项公式。（一）数列的分类常用的数列通常有以下几种：“有穷数列”（finitesequence），项数有限的数列;“无穷数列”（infinitesequence），项数无限的数列。正项数列，数列的各项都是正数;递增数列，即从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列;递减数列，即从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列;摆动数列，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列;周期数列，数列各项呈周期性变化的数列;常数列，各项相等的数列。（二）数列的表示数列有时会有很多项数，而有的无限数列的项数是无穷的，那么应该如何更好地表示数列呢？通常我们使用通项公式和递推公式来表达和表示一个数列。1.数列的通项公式，即数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以通过同一个式子来表示，即数列的通项公式。如an=（-1）n+1+1，可以注意到首先有些数列的通项公式可以有不同形式，而有些数列没有通项公式。比如，素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，……这个数列就没有通项公式。2.数列的递推公式，即表现数列的某一项和它的前一项或前若干项之间关系的式子。数列的递推公式同其通项公式的特点类似，即有些数列的递推公式是不唯一的，可以有不同形式。同样有些数列也可以没有递推公式，且有递推公式的数列不一定有通项公式。二、数列的产生与发展数列是除去数字、三角、函数之外的另一个非常重要的数学概念。数列很早就体现出了人类的睿智，因为它不仅推进了级数的产生和组合的发展，还充满着人文气息和人类智慧，并被广泛应用在艺术、建筑等诸多领域，是数学中的重要模型。数列的历史十分悠久，在古代中国、古印度、古希腊、古代阿拉伯等历史中都可以发现数列的记载和介绍。在古代中国，《庄子》中就有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”的记载。而在古巴比伦，约在公元前20世纪的石板上记录了以下数字：1，4，9，16，25，36，49，……其实这是现在非常常见的自然数的平方和。同时，中国的《九章算术》或西方的欧几里得的《几何原本》都对数列有丰富的记录。关于数列，还有许多经典的命题广为流传，像熟悉的数学家高斯幼年巧算1到100自然数和的故事，以及国际棋盘上叠加小麦的问题和比较著名的阿莫斯之谜等。不仅在数学研究上，在自然界和生活中，数列依然随处可见。下文将就菲波那切数列的单独分析来揭示上述讨论。三、菲波那切数列菲波那切数列是一个比较常见的数列，学生应该都比较熟悉，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……这个数列的特点是从第三项起，每一项都等于它的前两项相加之和，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现的，自斐波那契数列发现之时起，就引起了人们的广泛关注。在数学表示上，斐波那契数列可以表示为：F（n）=0...