第五章非形式的一阶谓词逻辑本章和下一章都属于现代谓词逻辑。这一章主要介绍一阶谓词逻辑的基本概念、形式结构和语义，是一阶谓词演算的理论基础。§1从传统谓词逻辑到现代谓词逻辑传统谓词逻辑主要是研究性质命题及其推理(以三段论为核心)的逻辑。在传统谓词逻辑中，所有的命题都是仅仅具有如下四种形式的命题：A——所有的S都是PE——所有的S都不是PI——有些S是PO——有些S不是P至于具有“这个S是P”和“这个S不是P”之形式的命题则被笼统地处理成相应的A命题和E命题。无疑，对于可以分析成这种形式的命题来说，传统谓词逻辑中的方法很有实用性。但这种分析方法同时也存在着很大的局限性和过于笼统化。试看如下命题：(1)张三比李四年纪大。(2)上海位于南京和杭州之间。(3)有的提案得到了所有议员的欢迎。它们和具有上述A、E、I、0四种形式的命题有着明显的区别称为关系命题，即表达个体对象之间是否具有某种关系。由这些命题构成的推理称为关系推理。例如：张三比李四年纪大，李四比王五的年纪大所以，张三此王五的年纪大。直观上看，这个推理是有效的，并且其有效性正在于命题的内部结构。类似这个推理的关系推理显然应该成为着重分析命题内在逻辑结构的谓词逻辑的研究对象。但关系命题和关系推理都超出了传统谓词逻辑力所能及的范围。传统谓词逻辑仅仅研究性质命题；而且仅仅研究三段论或是对性质命题的形式稍作变化的推理。尽管传统谓词逻辑也属于谓词逻辑，但它对谓词的研究极其有限。谓词有多种类型。有一元、二元乃至多元谓词，有一阶、二阶乃至高阶谓词。一元谓词是表示一个个体对象的性质的谓词，二元及二元以上的谓词则是表示两个或两个以上的个体对象之间的关系的谓词。传统谓词逻辑所研究的性质命题是只包含一元谓词的命题，三段论也仅是关于一元谓词的逻辑理论。对于包含二元及二元以上的谓词的关系命题及其相关的关系推理形式，传统谓词逻辑完全没有研究。其根本原因在于传统谓词逻辑的理论体系根本无法表达这类命题和推理。自传统谓词逻辑产生以来，1早就有逻辑学家意识到了这一问题，并且做了大量的工作企图去弥补这一缺陷(可参阅一些论及关系命题和关系推理的以传统逻辑为主的逻辑教材或著作)。但事实证明，凡是在传统谓词逻辑理论框架内去解决这一问题，都是不会取得令人满意的结果的；而对于现代谓词逻辑来说，解决这一问题是一件轻而易举的事。关系命题及其推理是现代谓词逻辑的最基本内容，在其理论体系中关系命题及其推理与性质命题及其推理并无实质性的区别，仅仅是包含不同的谓词而已。谓词逻辑重在研究量词的逻辑性质。传统谓词逻辑把量词归结为“所有”和“有些”，并进而把命题归结为全称命题和特称命题，而对于日常语言中经常出现的单称命题基本上是回避。为了不致使其理论产生矛盾，对量词理论采取了种种限制，例如规定被量词约束的词项不能是空类等。在现代谓词逻辑中，一切词项都可以是空类，逻辑应该尽量满足一切可能性，只有这样才具有普遍应用性。传统逻辑采取“限制”的办法从根本上说是不得已的。实际上，如果取消这一限制，传统谓词逻辑理论除了极少的一部分外，基本上都是无效的。因此，这种理论就不具备任何完整性。更为重要的是，量词是和谓词的元数相关的。一个仅含有一元谓词的命题是一种最简单的情形，是谓词逻辑所研究的最基本命题。对于包含多元谓词的命题，情况马上变得复杂起来。因为量词的某些逻辑性质，只有在量词同时出现的场合下才充分显示出来，也只有在这种情况下，才能体现出量词的重要意义。由于传统谓词逻辑完全没有研究包含多元谓词和多重量词的关系逻辑，在传统逻辑的框架内就不可能揭示出量词的重要逻辑性质和规律。这使得传统谓词逻辑的内容贫乏，应用范围狭窄。造成传统谓词逻辑的局限性和缺陷的根本原因在于其研究工具。传统谓词逻辑主要是用自然语言建立起来的逻辑理论，即使后来的一些逻辑学家引入了许多现代逻辑符号也不能从根本上解决问题，因为这些符号在相当大的程度上是对传统逻辑所使用的自然语言的一种缩写，其本意不是并且实际结果也不能使逻辑理论尤其是推理系统化、严格化。逻辑和数学一样，作为一...