局部处理解题中的策暁摘要：木文介绍了多个可变对象的数学问题，往往解决都比较困难，采用局部处理的方法，不断缩小范围，最终得到整个问题的圆满解决的解题策略。关键词：多个可变对象；局部处理；缩小范围；解题策略：G633.6文献标识码：A：1009-8631(2012)09-0139-01整体和局部是同一事物的两个方面。有些数学问题从整休上处理难以解决时，就必须先研究问题的某一部分，得岀初步结论后，再作进一步的研究，从而可使整个问题获得解决。这种研究问题和解决问题的思维方法称之为局部处理。在这里我用局部固定和局部调整两种方法，给出解决多元变量，用局部处理的手段研究问题和解决问题的策略和技巧。一、局部调整为了解决一个数学问题，有时可以通过对问题中的部分量作有限次调整而获得，这种方法称为局部调整法。例如图，设面积为M的△ABC,P是三角形内一点，过P分别做三遍的平行线QQ1、RR1、TT1,设S为△TRP,AQPP1,APQ1T1的面积和。求S的最小值，并说明S取最小值时P点的位置。分析：由于点P变化，三个三角形△TRP,AQPP1,APQ1T1的三底边TR,QR1,T1Q1都在变化，点P到三底边的高也都在变化，所以面积和S二SATRP+SAQPPB+SAPQHT■的变量太多，解决难度较大，采用局部调---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---整法解决。解：由已知得：ATRP^AQPPl^APQlTl<^AABC所以：■二■二■因为AB是一给定边，S有最小值，即TR2+AT2+RB2有最小值，令AT二a,TR二b,RB二c,AB二L即：a+b+c二L故a,b,c中至少有一条线段的长度不大于■,有一条线段长度不小于・，不妨设00,cl二c则有：记I二TR2+AT2+RB2二且2+b2+c2Ilp・・+b・・+c・・1-11二a2+b2+c2-a・・+b・・+c■■二a2+b2+c2-[(■)2+(a+b-・)2+c2]二-■+2ab二-2(B-a)(・-b)$0EP：T^Tl所以I$11仿此方法再调整一次得II212其中12二(■)2+(■)2+(■)2二・■得S2・，故S的最小值是■此时点P为AABC的重心。例2：A,B,C是锐角三如形的三个内和，求U=tanA+tanB+tanC的最小值。分析：此问题中三个内角都在变化，是一个多变量问题，直接解决难度较大，解题策略为局部调整法，调整步骤如下:(A,B,C)—(60°,A+B-600,C)—(60°,60°,60°)但在每次调整时，应保证U的值不增大，即应有U2U12U2。---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---解：因为A,B,C是三角形的三个锐角，所以三角种至少冇一个角不大于60°,至少有一个角不小于60。o不妨设0°贝!J：cos(A+BT20°)一cos(A~B)二-2sin(A-60°)sin(B-60°)MOU-Ul=tanA+tanB+tanC-tan60°-tan(A+B-600)-tanC其中分子、分母皆为正数，耍证UMU1,只要证cosAcosBWcos60°cos(A+B-1200)或cos(A+B)+cos(A-B)Wcos(A+B)+cos(A+B-120。)或cos(A-B)Wcos(A+B-120。)即求的结果：UMU1,同法可证U1MU2U2=tan60°+tan60°+tan60°二3・U的最小值为3BO二、局部固定有些问题，不确定因素很多，有时它们还受某些条件的约束。在解决这类问题时，可以设法固泄某些不确泄因素，研究其的变化及对多个问题的影响，已达到解决问题的目的，这就是局部固定的处理方法。例3：已知锐角ABC的内角ZA>ZB>ZC,在ABC内(包括边界)找一点P,使P到ABC三遍的距离之和最小或最大。---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---解：在AABC中任取一点Q,设Q在三边上的射影分别为Q、E、F,于是是QE+QD+QF最小值或最大值时点Q即为所要找的点P。若同时考虑QD,QE,QF的长度，问题涉及的可变对象较多，难于下手。为此，先固定QD长度不变，即让Q在于BC平行的线段B1C1±运动,使QE+QF达到最值,做B1M丄AC,垂点为M,C1N丄AB,垂点为N,则厶AB1C1的面积为SAABBCB=BB1M•AC1=BC1N•AB1=BFQ•A1B1+HQE•AC1O而ZB>ZC,则ZABICI^ZACIBI,故ACl^ABl,于是有・B1M•AC1=・QF•AB1+BQE•AC1W.QF•AC1+BQE•AC1O即:B1MWQF+QE当且仅当Q、Bl重合时取等号同理C1N上QF+QE当且仅当Q、Cl重合时取等号因此QD+QE+QF去的最小(大)值，Q是在AB(AC)上当Q在AB上变动时，由于ZA>ZB,由上述讨论知三角形定点A是ABC内及边界上到三角形三遍距离之和最小的点P；又由于ZA>ZC亦知顶点C是ABC内及边界上到三边距离之和最大值的点Po...