专练09（解答题-数列）（20题）-2022年高考数学考点必杀300题（浙江卷）1．（2022·浙江省义乌中学高三期末）已知是首项为，公差不为的等差数列：成等比数列.数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列的通项公式为，由，可求得，即可求出；由等价于，再根据数列通项公式与前项和的关系，即可求出，进而求出数列的通项公式；（2）因为，可得，由此即可证明结果.(1)解：设等差数列的通项公式为由，所以，又，得，.等价于.当时，，；当时，由，所以，两式相减，可得，.(2)解：，，即命题得证.2．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高三阶段练习）已知数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，并满足，且，，．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）代入，计算，利用求出，求出代入条件可求出的通项公式；（Ⅱ）代入，化简可知即求，令，做差判断的单调性，求出最大值，即可得出的范围.【详解】（Ⅰ）在中令得：，因此，，也满足上式，∴．（Ⅱ），，代入可得：，即，令，令所以，时；时因此，．【点睛】思路点睛：（1）因为，结合，可代入具体值，然后求出各个通项公式再代入计算.（2）证明数列的单调性，常用做差或做比的方法进行计算.3．（2022·浙江·舟山市田家炳中学高三开学考试）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；，【解析】【分析】(1)设出等差数列的公差，根据给定条件列式计算即可作答.(2)由(1)的结论求出，借助裂项相消法求出，再探求成等差数列的m，n值即可作答.(1)设等差数列的首项为，公差为(d>0)，则，解得：，，于是有，所以数列的通项公式是.(2)由(1)知，，因此，．假设存在正整数，，使得，，成等差数列，则，即，整理得，显然n+3是25的正约数，又，则或25，当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意，所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，.4．（2022·浙江·海亮高级中学高三阶段练习）已知数列中，，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）设，结合已知条件，由待定系数法求出，进而可得是等比数列，求出的通项公式进而可得的通项公式；（2）利用分组求和求出，分离可得对于任意正整数恒成立，令，利用的单调性求出的最大值，即可求解.(1)设，即，因为，所以，可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以.(2)，若对于恒成立，即，可得即对于任意正整数恒成立，所以，令，则，所以，可得，所以，所以的取值范围为.5．（2022·浙江杭州·高三期末）设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，，c为常数）.(1)若，，求的通项公式；(2)若，证明为等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由与的关系，结合题设条件得出的通项公式；（2）对两边平方，由等差中项的性质，取，整理得出，，再由证明为等差数列.(1)由，得，，两式相减得，整理得.因为，所以，即数列是公差为2的等差数列，由，解得，所以的通项公式为.(2)由条件知，，成等差数列，设它们的公差为d，由，得，所以，①，②，③②①得，即，④③②得，即，⑤⑤④得，由于显然不合题意，所以，代入④解得，所以，，上述两式相减得，因为，∴，所以当时，数列为等差数列.6．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且(1)求数列的前项和；(2)在数列中，，且若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题设求得与，即可求得其通项公式；（2）根据，可得，两式作差，在根据题意，可证明数列为等比数列，进而求得，再根据，可得，对，，三种情况进行分类讨论，解决恒成立问题，即可求出结果.(1)解：等差数列的公差为，由，得解得，所以；(2)解...