§1归纳与类比1.1归纳推理学习目标1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．知识点归纳推理思考(1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”；(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．梳理归纳推理的定义及特征定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理特征(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的1．归纳推理得到的结论可作为定理应用．(×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)3．由归纳推理得出的结论一定是正确的．(×)类型一归纳推理在数与式中的应用例1(1)观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为_______________________________________________．(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)f3(x)＝fn(x)＝解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．(2) f(x)＝，∴f1(x)＝.又 fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式．解 f(x)＝，∴f1(x)＝.又 fn(x)＝f(fn－1(x))，∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，f4(x)＝f(f3(x))＝＝.因此，可以猜想fn(x)＝.反思与感悟已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．跟踪训练1已知：1>；1＋＋>1；1＋＋＋＋＋＋>；1＋＋＋…＋>2；….根据以上不等式的结构特点，归纳出一般性结论．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用解1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分别为，，，，…，.归纳得一般性结论：1＋＋＋…＋>(n∈N＋)．类型二归纳推理在数列中的应用例2已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数列中的应用解当n＝1时，a1＝1，当n＝2时，a2＝＝，当n＝3时，a3＝＝，当n＝4时，a4＝＝，…，归纳得数列{an}的通项公式为an＝(n＝1,2,3，…)．反思与感悟用归纳推理解决数列问题的方法在求数列的通项和前n项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论．跟踪训练2如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为()……A.B.C.D.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案B解析由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为，第11行的第一个数为，第11行的第2个数为－＝.类型三归纳推理在图形中的应用例3如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)是由(1)中的小正方体木块叠放而成的．按照这样的规律摆放下去，第7个图形中，小正方体木块的总个数是________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案91解析记第n个图形中木块的总数为an，观察前三个图形中的木块数可知，a1＝1，a2＝1＋(1＋4)＝1...