第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明2利用基本不等式求最值1,3,4,7,10,11,13基本不等式的实际运用6,14基本不等式的综合应用5,8,9,12,15基础对点练(建议用时:25分钟)1.(2018·河南天一大联考)已知m,n∈(0,+∞),若m=+2,则mn的最小值是(C)(A)4(B)6(C)8(D)10解析:因为m=+2,化简可得mn=m+2n≥2,故(mn)2≥8mn,即mn≥8,当且仅当m=2n=4时等号成立,即mn的最小值是8,故选C.2.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg(x2+)>lgx(x>0)(B)sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:当x>0时,x2+≥2·=x,所以lg(x2+)≥lgx(x>0),故选项A不正确;当2kπ-π<x<2kπ,k∈Z时,sinx<0,sinx+<0,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.故选C.3.(2018·贵州贵阳模拟)若点P(x,y)在线段AB上运动,且A(4,0),B(0,2),设T=log2x+log2y,则(C)(A)T有最大值2(B)T有最小值1(C)T有最大值1(D)T没有最大值和最小值解析:由已知点P(x,y)在线段AB上运动,且A(4,0),B(0,2),即点P满足x+2y=4(x>0,y>0),所以xy=(x·2y)≤()2=2,当且仅当即时(xy)max=2,所以Tmax=1,故选C.4.(2018·东北四市一模)已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为(B)(A)8(B)9(C)12(D)16解析:由题意可得+=1,则x+y=(x+y)(+)=5++≥5+2=9.当且仅当x=3,y=6时等号成立,综上可得x+y的最小值为9.5.(2018·漯河模拟)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为(B)(A)8(B)9(C)16(D)18解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以+=(+)(a+b)=5++≥5+4=9,当且仅当=,即2a=b=时等号成立,故选B.6.(2018·阳江月考)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(C)(A)80元(B)120元(C)160元(D)240元解析:设底面矩形的长和宽分别为am,bm,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为.解析:(x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.答案:98.(2018·常州高级中学模拟)在△ABC中,D为BC边的中点,AD=1,点P在线段AD上,则·(+)的最小值为.解析:依题意得,·(+)=2·=-2||·||≥-2()2=-=-,当且仅当||=||=时取等号,因此·(+)的最小值是-.答案:-9.(2018·廊坊模拟)若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是.解析:因为不等式x+<m2-3m有解,所以(x+)min<m2-3m,因为x>0,y>0,且+=1,所以x+=(x+)(+)=++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,所以(x+)min=4,所以m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).答案:(-∞,-1)∪(4,+∞)10.(2018·广西桂林柳州模拟)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为.解析:由题意可得两圆相内切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,故有=1,所以4a2+b2=1,所以+=(+)(4a2+b2)=5++4·≥5+4=9,当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为9.答案:9能力提升练(建议用时:25分钟)11.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为(A)(A)[,+∞）(B)(,+∞)(C)(-∞,)(D)(-∞,]解析:由x>0,=,令t=x+,则t≥2=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥,故选A.12.(2018·河南师大附中模拟)对于使f(x)≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫做f(x)的上确界,若正数a,b∈R且a+b=1,则--的上确界为(A)(A)-(B)(C)(D)-4解析:--=-(+)(a+b)=-(++)≤-(2+)=-,当且仅当b=2a时取等号,因此--的上确界为-,选A.13.(2018·河南林州市第一中学模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为(C)(A)10(B)15(C)20(D)25解析:由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5可得S8-S4=S4+5,由等比数列的性质可得S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=,综上可得a9+a10+a11+a12=S12-S8==S4++10≥2+10=20,当且仅当S4=5...