台州中学2015学年第二学期期中试题高二数学第I卷(选择题，共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为A．35B．C．D．532．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A．B．C．D．13．若，则复数表示的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知，，若，则实数的值为A．B．C．D．5．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是A．“至少有一个黑球”与“都是黑球B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”6．某班级有一个7人的小组，现选出其中3人互相调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有A．35种B．70种C．210种D．105种7．将5封信投入3个邮箱，每个邮箱至少投1封，不同的投法有A．种B．种C．150种D．240种8．定义在上的函数的导函数为，且当时，，若，，，则的大小关系是A．B．C．D．第II卷（非选择题，共110分）二、填空题：（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．把正确答案填在答题卷相应横线上．)9．若5个同学排成一排，其中甲、乙不相邻的有排法．10．若复数，则复数的虚部为，复数的模为．11．已知，且，则=，．12．若直线与曲线相切于点，则实数，．13．已知是边长为1正四面体内切球的球心，且，则，．14．9人排成3×3方阵(3行，3列)，从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为．（用数字回答）15．已知奇函数，，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）已知复数，(其中i为虚数单位，aR)，若12zz为实数，（1）求实数a的值；（2）求的值．17．（本小题满分15分）已知(12x)n的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而又等于它后一项系数的56．（1）求展开后所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．（本小题满分15分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（1）求证：PB⊥DE；（2）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（本小题满分15分）在数列na中，，，且1(1),(2)nnnnaanna．（1）求3,4aa，猜想na的表达式，并加以证明．（2）设，求证：对任意的自然数，都有．20．（本小题满分15分）已知．(Ⅰ)当时，判断函数的单调性；(Ⅱ)若函数有两个不同的极值点．(i)求实数的取值范围；(ii)求证：．台州中学2015学年第二学期期中试题参考答案高二数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）DBDACBCC二、填空题（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．）9．7210．2511．10012．1213．341214．46815．-142，三、解答题：（本大题共5小题，共74分．）16.（本小题满分14分）（1）；（2）17.（本小题满分15分）解：根据题意，设该项为第r+1项，则有即亦即解得…………（5分）（1）所有项的二项式系数和为．……………………（10分）（2）展开式的通项为．于是当r=0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为：，，，．……………………（15分）18.（本小题满分15分）（Ⅰ） DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE， BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又 PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；……………………（6分）（Ⅱ） PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量， ，PD与平面PBC所成角为30°，∴，即，解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长...