1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换课时过关·能力提升1.一条抛物线经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形的形状可能是().A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线解析:抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是不会发生变化的.答案:C2.将一个圆作伸缩变换后,所得图形的形状不可能是().A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析:将圆作伸缩变换,如果保持一个坐标轴上的单位长度不变,另一个坐标轴上的单位长度发生变化都会出现椭圆的形状,故选项A正确.当两轴上的单位长度同时扩大或缩小时,会得到比原来大或小的圆,故选项B,C正确,故选D.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。答案:D3.在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍,则椭圆=1进行伸缩变换后的图形是().聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。答案:B4.在同一坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线2x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为().残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1D.x2+y2=1解析:将坐标直接代入新方程可得原来曲线方程.将代入2x'2+8y'2=1,得2(5x)2+8(3y)2=1,即所求曲线C的方程为50x2+72y2=1.故选A.答案:A5.如图所示,在x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-8,0),C(-4,0),则△ABC的面积为.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。答案:86.将双曲线C经过伸缩变换后对应图形的方程为x2-y2=1,则双曲线C的焦点坐标为.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。解析:由题意知点在双曲线x2-y2=1上,∴4x2-=1.∵a2=,b2=9,∴c2=a2+b2=.∴c=,∴焦点坐标为.答案:7.在下列平面直角坐标系中,分别作出双曲线=1的图形:(1)x轴与y轴具有相同的单位长度;(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍;(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.解(1)建立平面直角坐标系,使x轴与y轴具有相同的单位长度,双曲线=1的图形如图所示.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。(2)如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,双曲线=1的图形如图所示.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的,双曲线=1的图形如图所示.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。8.写出由曲线y=tanx得到曲线y=3tan2x的变化过程,并求出坐标的伸缩系数.解y=tanx的图像上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到y=tan2x的图像,再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变,得到曲线y=3tan2x.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。设y'=3tan2x'变换公式为将其代入y'=3tan2x',得所以9.在下列平面直角坐标系中,分别作出以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆:(1)x轴与y轴具有相同的单位长度;(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍;(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.解(1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度,以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆,如图所示.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。(2)如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,那么以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆的图形如图所示.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的,那么以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆的图形如图所示.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。★10.圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,压缩系数为.(1)求压缩后的曲线方程.(2)过圆C上一点P()的切线,经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系?解设圆上一点P(x,y),压缩后的点为P'(x',y'),则即(1)由(x')2+(2y')2=4,得x'2+4y'2=4,则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.(2)∵点P()满足()2+()2=4,∴点P在圆上.故过点P的切线方程为x+y=4,压缩后变为x'+×2y'=4,即x'+2y'=2,即压缩后的方程为x+2y=2.由得x2-2x+2=0,由Δ=8-4×2=0,得直线x+2y=2与曲线x2+4y2=4相切.