应用泰勒公式解题的思路探讨ythb现代商贸工业第２０卷第２期ＭｏｄｅｒｎＢｕｓｉｎｅｓｓＴｒａｄｅＩｎｄｕｓｔｒｙ２００８年２月应用泰勒公式解题的思路探讨董烈勋（武汉科技大学中南分校数学教研室，湖北武汉４３００００）摘要：提出如何利用泰勒公式采分析函数性态，确定可导函数的极值点和曲线的拐点的方法．以及求证某些等式和不等式的思路．，关键词：泰勒公式；极值点；拐点；等式；不等式；极限中图分类号：Ｇ６３３．６２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—３１９８（２００８）０２—０２０１—０１ｌ函数极值点与拐点的判定设函数，（力在点_０的某邻域内具有行阶连续导数，且从而，（_１）＋八_１）＜２，（ｚ）＋／（ｚ）（_ｌ＋．ｒｌ一２ｚ）＝‘２ｆ（力厂（ｚｏ）一厂（_ｏ）＝…＝，一一１）（_ｏ）＝０，ｆ－＞（ｚｏ）≠ｏ，（恕≥２），则；（１）当ｉｔ／为偶数时，_ｏ为，（ｚ）的极值点．（２）当以为奇数时，则点（_ｏ，ｆ（_ｏ））为曲线ｙ；，（ｚ）的拐点．证明：（１）（咒为偶数），因为∥靠）（_ｏ）≠０，不妨设∥一）（ｚｏ）＞０。由于，一’（ｚ）在_０处连续，即ｌｉｍｆ＿（一）＝∥”）（ｚｏ），根据极限的保号性，存在_Ｏ的某个去心邻域Ｕ（ｚｏ，ｄ），当ｚ∈Ｕ（ｚｏ，占）时，∥一，＞ｏ。那么对于任一ｚ∈【，（_ｏ，艿），，（ｚ）的（靠即Ｔｆ（_１）Ｗｆ（_２）＜，（翌专旦），因此曲线，（ｚ）在（和同理可证，当，一）（_ｏ）＜ｏ时，点（_ｏ，ｆ（_ｏ））也是曲线一占，_ｏ）内是凸的。’同理可证曲线，（ｚ）在（_ｏ，_Ｏ十ｄ）内是凹的．因此点（_ｏ，厂（柳））为曲线ｙ一八ｚ）的拐点。ｙ＝，（ｚ）的拐点．２利用泰勒公式证明等式和不等式例１：证明：正数的几何平均数不大于这些数的算术平均数，即是：ｚ百磊＝暴音（ｚｌ＋ｚ２＋…＋磊）证明：不等式的左端是竹个正数的连乘积，为此取自然对数转化为和的形式。当_ｌ，_２，…，工。都不为０时，即证；锱（ｚ－－_ｏ）ｎ－－１＋等（Ｉ－－_Ｏ）一一１）阶泰勒公式为：八ｚ）＝ｆ（_ｏ）＋／（_ｏ）（ｚ—_０）＋…＋ｌ竹（Ｉｎ_ｌ＋Ｉｎ_２＋．．．＋ｌ峨）．≤ｌｎ型塑挚、ｆ（ｚ）＝ｌｎ_（ｚ＞ｏ），／（工）＝丢，厂（ｚ）＝一丢＜ｏ手在_Ｏ与ｚ之间．由于厂一）＞ｏ，因此，一）（９＞ｏ，考虑到疗为偶数及ｆ７（如）一厂（_ｏ）＿．．＝，一一１）（勘）＝ｏ，那么在此邻域内，（ｚ）＞ｆ（_ｏ），所以_Ｏ为，（ｚ）的一个极小值点．著∥一’（蜘）＜ｏ，同理可证．ｔｏ为，（ｚ）的一个极大值点。（２）（苊为奇数），设，ｎ）（锄）＞ｏ，同样存在Ｕ（_ｏ，∞，当_ＥＵ（_ｏ，艿）时，，一）（ｚ）＞ｏ，那么在此邻域内，，一一１）（工）单将八工）在劫＝兰__177;墨挚处展开为泰勒公式，有“ｚ）：，（锄）＋／（二）（ｚ—ｚ。）＋￡：娑（ｚ一动）２毒在ｚ与－ｔＯ之间．调增加，由于。∥矗－１）（_ｏ）＝０，那么在（ｚｏ一毋，－ＴＯ）内，∥一一１）＜ｏ，则∥一一２）（ｚ）单调减少，又由于∥一一２）（_ｏ）＝０，因为厂（９＜ｏ，所以，（工）＜，（锄）＋厂（_ｏ）（ｚ一却）这样：，（_１）＜八ｚｏ）＋／（和）（_ｌ一动），（_２）＜，（劫）＋厂（_ｏ）（_ｚ一锄），（翻）＜，（_Ｏ）＋／（_ｏ）（_．－－_ｏ）把不等式两边相加，可得：因此∥一一２）（工）＞ｏ。…依此类推，当ｚ∈（_ｏ一艿，．Ｔ０）时厂（ｚ）＜０．取_ｌ，_２∈（_ｏ一艿，_０），且_ｌ＜ｚ２，并设：＝—_ｌ百＂｛－一_２，将，（ｚ）在点ｚ处按泰勒公式展开：ｆ（．ｒ１）：，（ｚ）＋厂（ｚ）（ｚ１一ｚ）＋￡兽（ｚ１一名）２（_ｌ，幻，（_１）＋ｆ（ｚｚ）＋…＋，（粕）＜．ｆ（_ｏ）＋厂（_ｏ）（_ｌ＋ａ∈_２＋…＋矗一撕）＝ｎｆ（．ＴＯ）ｆ（_ｚ）：．“ｚ）＋厂（ｚ）（ｚ２一ｚ）＋￡兽（ｚ２一ｚ）２（ｚ，_２）ｅｐ．１Ｉ坊ｌ＋ｌＩ垅２＋…ｌｒｕ‰＜住１ｎ—_ｌ＂｛－_２．｛—－＇＂＂／ｆ－_，龟∈也即；。｝（１ａ_ｌ＋ｌａ_ｚ＋…＋ｌａ_，，）＜Ｉｎ三！__177;塑__177;：：：__177;墅‘．．厂（ａ）＜ｏ，厂（彘）＜ｏ：．ｆ０_ｌ、＜ｆＬ...