“APOS”理论在数学概念教学中的应用卞家海[摘要]在初中数学知识体系中，数学概念是基础与重点.把“APOS”理论运用于数学概念教学中，能够引导学生经历数学概念的形成过程，提高教学效率.文章结合“一元二次方程”的教学，对“APOS”理论在数学概念教学中的应用进行了探索.[关键词]APOS理论;概念教学;一元二次方程[]G633.6[文献标识码]A[]1674-6058（2021）29-0014-02著名教育学家杜宾斯在进行数学概念教学的过程中，架构了一种全新的理论模型——AOPS模型.这一模型的基本流程是“活动阶段—过程阶段—对象阶段—图式阶段”.在这四个阶段中，其核心目标就是创设良好的情境，使学生可以在这一过程中实现自觉发现、自主建构，准确把握概念的特点.这是一个循序渐进的过程.APOS理论认为，针对数学概念的学习过程，实际上是学生的自我心理建构.在这一过程中，需要学生积极调整现有的认知结构，或者将其与外部认知结构相融合，形成新的认知结构，所以在数学概念教学中，需要教师及时恰当地引导，使学生可以亲历思维过程，这样才能够在不断建构不断反思的基础上，对概念组成图示，或者同化，或者顺应.一方面是为了解决现实问题，而另一方面也是对当前认知结构的进一步完善.APOS理论在教学数学概念的过程中具有科学性和实用性.下面结合“一元二次方程”概念的教学来论述APOS理论在数学概念教学中的具体应用.一、基于APOS理论的“一元二次方程”四阶段教学设计（一）第一阶段：活动阶段活动1：一块长方形铁皮面积为5000平方厘米，其中长为100厘米，列式求出其宽.（学生列出算式①）活动2：在这块铁皮上的四角，各自切掉一个正方形，然后将凸出部分折起，由此形成一个无盖方形铁皮盒，假如所形成的铁皮盒的底面积为3600平方厘米，求所截去的正方形的边长.针对这一环节可以借助视频演示的方式带领学生体会整体和打开的过程，引导列式.（学生列出算式②）活动3：一座高2米的人体雕像，如果上下部分的高度比等于下部和全部之间的高度比，下部应该设计为多少米？借助多媒体将题目转化为图形，引导学生列出算式③.（二）第二阶段：过程阶段针对上述三个算式展开仔细观察，发现其中的异同.此时教师引导：判断算式①是否属于之前所学过的方程，由此唤醒学生的已知概念以及已有经验.在探寻异同点时，类比一元一次方程的概念，就此探讨其中包含几个未知数，未知数的最高次数是多少.组织学生讨论，引导发现在算式①中包含1个未知数，最高次数为1，有等号，由此可做出准确判定.在算式②和③中，虽然都包含有一个未知数，但是最高次数为2，有等号，是方程.通过类比概念的方式，可以初步感知这是两个一元二次方程，能够就此掌握其所具有的三个基本属性.（三）第三阶段：对象阶段如何使用数学语言对其进行描述？显然对于学生而言，这一问题相对抽象，也是教学实践中的难点.可以结合小组探讨的方式，再将其与一元一次方程的描述进行类比，完成对一元二次方程的概念界定.1.分组讨论，理解概念小组1：根据算式②与③，将其中的数字替换成字母，由此得到[（a-bx）（c-dx）=m]或者[a-bx=cx?].很显然，通过学生的这一回答，可以发现他们并没有真正掌握一元二次方程的本质，因此不能借助本质属性完成对概念的数学描述.小组2：类比一元一次方程[ax+b=0]，得出[ax2+bx=0]，在这一过程中.有学生提出算式②与③与这一形式并不吻合，除了包含[ax2+bx]后面还增加了一个常数，因此很多学生认为不能不算是正确的一般式.小组3：在经历了之前两组学生的展示之后，一部分思维能力较高的学生认为，一元二次方程的一般形式应当为[ax2+bx+c=0].此时可以要求学生将算式②與③转化为这一形式，然后说一说在这个一般式中包含了几个未知数，未知数的最高次数又是多少，是不是方程.在充分考虑这些问题之后，很多学生都认为这一表达是正确的，但是并未涉及其中是否存在限定条件.2.深入反思，深化概念问题1：a是否可以为0？如果a为0，这个方程就没有了二次的项.要牢记[a≠0]这一限制条件.问题2：b、c是否可以为0？再次强调一元二次方程的三个本质属性，此时学生发现，b或者c可以为0，由此得到[ax2+bx=0]，[ax2+c=0]，这是其特殊式.问题3...