第25卷第6期2003年6月武汉理工大学学报JOURNALOFWUHANUNIVERSITYOFTECHNOLOGYVol.25No.6Jun.2003:167124431(2003)0620046204基于球面三角学的球面并联机构位姿正解何开明(武汉理工大学)摘要:用球面三角学的方法求3自由度球面并联机构的位姿正解,使其平面化。找出了能确定Stewart平台3自由度运动的2个输出变量,使求解工作大为简化。用消元法解决了一般3自由度球面并联机构的位姿正解问题。以正交3自由度球面并联机构为例,进行实例分析,导出了简洁的位姿正解显式解析式,完全解决了该机构实时控制的问题。关键词:球面并联机构;位姿正解;球面三角;Stewart平台:TH112文献标识码:A3自由度球面并联机构是一种新型的机器人机构,还可用作卫星跟踪随动装置,灵捷眼及数控回转台等需要结构紧凑且较大回转角的场合,具有广泛的应用前景。吸引了国内外许多学者致力研究[1～8]。并联机构的优点之一是其位姿反解同串联机构相比要简单得多。其困难的问题是位姿正解[3、9],以至于有人把它称为世界难题。笔者用一种新的方法球面三角法,解决了3自由度球面并联机构的位姿正解问题。1输出变量的选定图1所示为3自由度球面并联机构的平面化简图[10、11]。图中的∃C1C2C3表示该机构的平台。设:C1C2=C2C3=C3C1=r,A1B1=A2B2=A3B3=Α1,B1C1=B2C2=B3C3=Α2,∠C1C2C3=∆。它们都是已知的结构参数。图1中,Γ1、Γ2、Γ3分别是A1B1、A2B2、A3B3的倾角,它们是已知的输入变量。该机构的位姿正解就是由已知的Γ1、Γ2、Γ3确定平台∃C1C2C3的位姿,即求解能确定平台位姿的输出变量。因为是3自由度,所以确定平台的位姿一般要3个输出变量。例如C3点的球面坐标Ηc3、Υc3和直线C3C2在C3点的倾角x2。显然由输出变量Ηc3、Υc3、x2可完全确定平台的位姿。但是,由3个输入变量求3个输出变量的位姿正解十分困难。为了解决这个问题,笔者用2个输出变量x1、x2取代3个输出变量Ηc3、Υc3、x2,并把A3点取在极点S[11]上。其中x1为直线B3C3的倾角,因为直线A3B3成为Υ直线,所以x1也就是直线A3B3至直线B3C3的夹角[11],如图1所示。用球面三角学的余弦定理和正弦定理可得出[10]sinΥc3=sinΥB3cosΑ2+cosΥB3sinΑ2cosx1sinΗc3=(-sinx1sinΑ2cosΗB3+cosΑ2sinΗB3cosΥB3-sinΥB3sinΗB3sinΑ2cosx1)ƒcosΥc3cosΗc3=(sinx1sinΑ2sinΗB3+cosΑ2cosΗB3cosΥB3-sinΥB3cosΗB3sinΑ2cosx1)ƒcosΥc3因为A3与极点S重合,所以ΥB3=90°-Α1,ΗB3=Γ3-180°。于是sinΥc3=cosΑ1cosΑ2+sinΑ1sinΑ2cosx1(1)图1球面并联机构的平面化简图收稿日期:2003203226.作者简介:何开明(19472),男,副教授;武汉,武汉理工大学机电学院(430070).第25卷第6期何开明:基于球面三角学的球面并联机构位姿正解47sinΗc3=(sinx1sinΑ2cosΓ3-cosΑ2sinΓ3sinΑ1+cosΑ1sinΓ3sinΑ2cosx1)ƒcosΥc3(2)cosΗc3=-(sinx1sinΑ2sinΓ3+cosΑ2cosΓ3sinΑ1-cosΑ1cosΓ3sinΑ2cosx1)ƒcosΥc3(3)又-90°≤Υc3≤90°,-180°≤Υc3≤180°[11],所以确定了x1就可由式(1)～式(3)完全确定Υc3、Ηc3。这就是说,以x1、x2为输出变量可完全确定3自由度Stewart平台的位姿。2位姿方程的建立同样用球面三角学的正弦定理和余弦定理可得sinΥc2=sinΥc3cosr+cosΥc3sinrcosx2sinΗc2=m2ƒcosΥc2,cosΗc2=n2ƒcosΥc2(4)sinΥB2=sinΥA2cosΑ1+cosΥA2sinΑ1cosΓ2sinΗB2=S2ƒcosΥB2,cosΗB2=g2ƒcosΥB2(5)其中m2=-sinx2sinrcosΗc3+cosrsinΗc3cosΥc3-sinΥc3sinΗc3sinrcosx2(6)n2=sinx2sinrsinΗc3+cosrcosΗc3cosΥc3-sinΥc3cosΗc3sinrcosx2(7)S2=-sinΓ2sinΑ1cosΗA2+cosΑ1sinΗA2cosΥA2-sinΥA2sinΗA2sinΑ1cosΓ2g2=sinΓ2sinΑ1sinΗA2+cosΑ1cosΗA2cosΥA2-sinΥA2cosΗA2sinΑ1cosΓ2。用柝杆法[11]可得cosΑ2=sinΥB2sinΥc2+cosΥB2cosΥc2cos(ΗB2-Ηc2)(8)即cosΑ2=sinΥB2sinΥc2+g2n2+s2m2。用式(4)～式(7)代入上式整理得T2sinrcosx2+N2sinrsinx2+M2=0(9)同理可得T1sinrcos(x2+∆)+N1sinrsin(x2+∆)M1=0(10)式中,M2=sinΥc3cosr(sinΥA2cosΑ1+cosΥA2sinΑ1cosΓ2)+g2cosrcosΗc3cosΥc3+S2cosrsinΗc3cosΥc3-cosΑ2。用式(1)～式(3)代换得M2=-f2sinx1c...