习题2-11．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解：，选手按胜多负少排序为：．2．设矩阵，已知，求．解：由于得，解得：。习题2-21．设，，求（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．2．已知，，求．解：3．设，求（1）；（2）；（3）若满足，求；（4）若满足，求．解：（1）；（2）；（3）由得，；（4）由得，。4．计算下列矩阵的乘积：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。（6）。5．设，求．解：。6．设，，，（1）求及；（2）如果，是否必有？（3）求．解：（1），；（2）由（1）知，而；（3）。7．已知，，求．解：。８．举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若，则或；（3）若，且，则．解：（1）举例若，而；（2）举例若，而且；（3）举例若，，，，且而。9．证明：如果，则有（1）；（2）．证明：（1）；（2）10．设均为阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）；（2）；（3）；（4）．证明：（1）（2）因为，所以；（2）（1），所以；（1）（3）因为，所以（3）（1），所以；（1）（4）因为，所以（4）（1），所以。11．设与是两个n阶反对称矩阵，证明：当且仅当时，是反对称矩阵．证明：先证当时，是反对称矩阵。因为，所以是反对称矩阵。反之，若是反对称矩阵，即，则。习题2-31．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1），故存在，从而（2），故存在，从而（3），故存在，，从而（4），故存在，，从而（5），故不存在。（6），故存在，，从而。2．设，求矩阵使满足．解：由1题中的（4）小题知，又知所以。3．设，，，解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）．解：，（1）（2）(3)4．利用逆矩阵解下列线性方程组：（1）；（2）．解：（1）取，，，则原方程组为，∴，即。（2）取，，，则原方程组为，∴，即。5．设（为正整数），证明．证明：因为（由）所以。6．设方阵满足，证明和都可逆，并求和．证明：因为可知，所以可逆且；又有得，所以可逆且。7．设，求．解：因为，所以，而，，，所以。8．设，求矩阵．解：由于，有而且，可知可逆，所以。9．设是阶方阵的伴随矩阵，证明：（1）若可逆，则；（2）若，则；（3）；（4）若可逆，则；（5）若可逆，则．证明：（1） ，而可逆，∴（2），当，则，∴当，则由，∴矛盾。∴故当时，有。（3）若由（2）知此时命题也成立，故有。若，则由，∴综上有。（4） ，而可逆，∴又，∴，即（5） 可逆，∴可逆又，即，∴10．设的伴随矩阵，且，求矩阵．解：由而，∴。11．设，其中，求．解： 故，所以而，，，故12．设，其中，求．解： ，，∴又故。13．设矩阵、及都可逆，证明：（1）也可逆，并且；（2）．证明：（1） ∴可逆且（2） ∴，又有（1）知由逆矩阵的唯一性知，。习题2-41．设矩阵，，用分块矩阵计算：（1）；（2）．解：先对进行分块，，其中，，（1）；（2）。2．设，，求．解：先对进行分块，，其中，，，则，而，，所以。3．设，，求．解：先对进行分块，，其中=，，=，，则，而，∴4．设，求及．解：，令A则是分块对角阵，故5．已知分块方阵，，其中均为可逆方阵，证明和均可逆，并求和．证明：设有矩阵，使，即则，因均为可逆方阵，所以有，即从而可逆且。设有，使，即，因均为可逆方阵，所以有，即，从而可逆且。6．求下列矩阵的逆阵：（1）；（2）．解：（1）记原方阵为，则，∴（2）记原方阵为，则可直接凑得而，，∴=习题2-51．对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（2）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（3）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）(4)（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（5）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩...