考点26与导数有关应用题【自主热身，归纳提炼】1、(2019南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.(1)求实数m的值；(2)求近期每天时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)第(2)问，导函数f′(x)＝－1＋600的代数变形成为本题的难点，发现公因式12－x是解决本题的关键．规范解答(1)由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，解得m＝12.(5分)(2)由已知函数求导，得f′(x)＝＋600＝(12－x)]．令f′(x)＝0，得x＝12.(9分)列表得x[4，12)12(12，22]f′(x)＋0－f(x)极大值所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时.(12分)答：(1)实数m的值为12；(2)空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)本题第(2)问，因为部分学生不能发现导函数中有公因式12－x，导致二次求导，但是没有交代清楚，导致失分.当然本题可以分别求函数y＝12lnx－x和函数y＝－6的最大值，并交代在x＝12处同时取得最大值即可．在评分细则中，第(2)问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.2、(2018苏锡常镇调研（二））下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．规范解答（1）设，，记，则，由，化简得，解得或（舍去），所以，．答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，即（注：不写定义域扣1分）记，则，令，解得，PDCBA当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.【问题探究，变式训练】题型一与空间几何体有关的最值知识点拨：与空间几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。例1、一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5m，BC＝10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？,②)(1)先通过线面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出△FBC的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于θ的函数关系式．(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于θ的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值．(1)规范解答由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM.(2分)在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，所以FM＝.(4分)因此△FBC的面积为×10×＝.从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝.所以S关于θ的函数关系式为S＝.(6分)(2)在Rt△FHM中，FH＝5tanθ，所以主体高度为h＝6－5tanθ.(8分)所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝k－k＋96k＝80k·＋96k.(10分)记f(θ)＝，0<θ<，所以f′(θ)＝，令f′(θ)＝0，得sinθ＝，又0<θ<，所以θ＝.(12分)列表：θf′(θ)－...