备作业4.5.2用二分法求方程的近似解[A级基础稳固]1．(多选)下列函数中,能用二分法求函数零点的有()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝x2－2x＋1C．f(x)＝log4xD．f(x)＝ex－2解析：选ACDf(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2,f(1)＝0,当x<1时,f(x)>0；当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D.2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0,0.5),f(0.125)B．(0.5,1),f(0.25)C．(0.5,1),f(0.75)D．(0,0.5),f(0.25)解析：选D因为f(1)＝1＋8－1＝8>0,且f(0)<0,f(0.5)>0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值为f(0.25)．故选D.3．若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0,则()A．f(x)在上有零点B．f(x)在上有零点C．f(x)在上无零点D．f(x)在上无零点解析：选B由f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0可知f·f(b)<0,根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点．4．若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)＞0,f(1)·f(2)·f(4)＜0,则下列命题正确的是()A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点解析：选Df(1)·f(2)·f(4)＜0,则f(1),f(2),f(4)中有一个小于0,另两个大于0或三个都小于0,则有零点可能区间(0,1),(1,2),(0,2),(2,4),但它们都包含于(0,4),因此选项D正确．5．已知函数f(x)是R上的单调函数,且f(x)的零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),内,则与f(0)符号相同的是()A．f(1)B．f(2)C．fD．f(4)解析：选A零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2；零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1；零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点；零点在内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0,f<0.所以与f(0)符号相同的是f(1)．6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3,计算得f(2)·f(x1)＜0,则此时零点x0∈________(填区间)．解析：因为f(2)·f(3)＜0,所以零点在区间(2,3)内．参考答案：(2,3)7．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1),用“二分法”逐次计算列表如下：端(中)点的值中点函数值符号零点所在区间|an－bn|(1,1.5)0.51.25f(1.25)<0(1.25,1.5)0.251.375f(1.375)>0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)<0(1.3125,1.375)0.0625则函数零点的近似值为________．解析： 精确度ε＝0.1,由表可知|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1,∴函数零点的近似值为1.3125.参考答案：1.31258．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c＝,则下一个含根的区间是________．解析：令f(x)＝lnx－2＋x, f(1)＝－1＜0,f(2)＝ln2＞0,f＝ln－＜0,∴下一个含根的区间是.参考答案：9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f(0)＝1>0,f(2)＝－<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．(2)取x1＝×(0＋2)＝1,得f(1)＝>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2)．2再取x2＝×(1＋2)＝,得f＝－<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3＝×＝,得f＝>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内．10．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c,a＋b＋c＝0,f(0)＞0,f(1)＞0,证明a＞0,并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．证明： f(1)＞0,∴f(1)＝3a＋2b＋c＞0,即3(a＋b＋c)－b－2c＞0. a＋b＋c＝0,∴a＝－b－c,－b－2c＞0,∴－b－c>c,即a>c. f(0)＞0,∴f(0)＝c>0,∴a>0.取区间[0,1]的中点,则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0. f(0)＞0,f(1)＞0,∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．又f(x)为二次函数,最多有两个零点,∴f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．[B级综合运用]11．(多选)某同学求函数f...