华东师范大学学报(自然科学版)JournalofEastChinaNormalUniversity(NaiuralScience)：1000-5641(2003)02一0022-05随机Benjamin-Ono方程初值问题及对河口区域生物分布的应用李英，汪礼初(华东师范大学数学系，上海200062)MM:该文对具梯度耦合噪声的随机Benjamin-Ono方程(以下简记为B-0方程)的初值问題导出了解的积分表达式，并将它应用于河口区域生物分布问题,得到了一维空间的分布表达式。关■词：随机B-0方程；初值问题；河口区域；生物分布：029文Itt标识码:A051言文［1］中考虑了具梯度耦合噪声的非线性发展方程的初值问題，讨论了解的存在及唯一性。本文应用文［1］及偏微分方程(以下简称PDE)理论方法,求解具受地球自转作用的柯氏力项和梯度IM合噪声项的一类修正的随机B-0方程的初值问题：ut+2uux—力+HUja=Uxg(t)u(X,0)=uo(x)(0.1)其中u是工方向流速e是，方向流速J是柯氏力系数(在本文中作为常数)，g=gQ)是随机力(描述噪声),H是Hilbert变换：(0.2)这是p表示Cauchy积分主值采用简化了的自由潮波方程假设［2］叫+□=0(0.3)以后，可得v=-/Judt(0.4)o将(0.4)代入(0・1)以后,得到一个修正的随机B-0方程的初值问题：Iut+uux+f^^udt+Hu^=Uxg(t)fu(x,0)=uo(x)tW(o,T］,xC(0.5)文［3］中论了确定性的B-0方程((0.1)中方程的右端顶为零)初值问题解的存在性及唯一性，并得到了线性化的E-0方程的初值问题解的积分表达式。本文在Stratonovich收稿日期：2001-04基金项目：上海市重点学科建设项目作者简介：李英(1975-),女，頊士，助教，现在上海理工大学工作.约定下，讨论了修正的随机B-0方程的初值问题(0.5)解的存在性及稳定性，得到(0・5)的解的积分表达式，并将其应用于河口区域生物分布问题。而在Ito约定下得到产生激波的条件。1转化为确定性PDE的初值问题随机微分方程理论中的Stratonovich约定悄况下，对(0.5)引入如下变换(见[1])：u(x=u(x+Jg($)ds")(1.1)经过简单计算可得:Ut=立工g(z)+认，工‘=工+g(s)ds将上面的式子代入(0.5),且仍记F为工，则得到如下初值问题ut+2uux+f2udt+Huja=0,u(x,o)=Uo(x)由于随机力g)隐含于u(x9t)的空间变量工中,(1.2)是一个确定性PDE的初值问2问題(1.2)解的存在性与稳定性定理1若初值函数U0(X)6L2(1?),则问题(1・2)的I?解是存在的和稳定的。证明易知(1.2)的解u(x9t)在I?类函数中存在。下面来证明稳定性。假定问题(1・2)有两个解ui,u2o它们分别満足五1*+2u\u\x+f2u\dt4-Huixx=0,ui(x,0)=0(x)(2.2)(1.2)(2.4)(2.1)U2t+2U2^2X+f\uidt+HU2XX=0,,0)=)0，且0(H)和p(H)都GL2(K),则从(2.1)M去(2.2),再令石-立2=3,得到(2.3)aj^dx+用3乘以(2.3)中的方程，并在R上关于工积分后得引入记号3(/)||2,maxI2uix—U2xI=M将（2.5）关于"从0到/积分得II0,（0II2<U（0）go）II2严,这里T>t>0是个对应于某种潮周期的固定正数，而OO8II3（0）II2=cu2（x,0）Jx=|［e（x）-卩（工）］2必—8・8当〔0（工）-护（工）］2么T<幺2篙'€>0,充分小时，即得11比）1|2<£（2.8）表明I?稳定性成立，定理证毕。3—个简化初值问题的解析分支解由于河口区域受潮汐作用形响巨大，因此在一定的潮周期内的JR积形响接近于零，从而得到一类简化B-O方程初值问题。(2.6)(2.7)(2.8)込+Z2Ude+Huxx=0lu（x,0v0…）=0（X）解析解的两个分支。设广义函数E（x,t）6S\它满足以下初值问题IJEC+f\Edt+HEg=0t6(0tT],xeRt6(0,T],新疆R(3.1)(3.2)lE（sO）=5（x）其中<5（工）是Dirac-8函数，即对问题（3.2）关于变录x进行Fourier变换，得到5(H)=+OO0(3.3)严:层"）+尸仪入,）/一•召£（入〃）=ob（入,o）=1假设“对r两次连续可微，得到d營4+/J£（A,r）-i尬沪2=0令£（入》）=严・卩=心入）为待定复数•代入（3・6）得到宀=・？^7（入3±』4尸I入P+入6"=穴〃）得到（3.6）的两个解：（入」）=exp(3.5)(3.6)(3.7)2I；I(入‘+g(3.8)_£（入"）=exp利用Fourier逆变换得到一个基本解2-|77(A3~>/4E+(工“)=吉Jexp”|(入3+J4?\入卩+门”+AxdX(3.10)被积函数可看成实部为余张函数，虚部为正弦函数，根据正弦函数是奇函数，在任何有限对称区间上积分值为零，当积分上、下限分别趋于正、负无穷大时，此性质保持成立，上面(3.10)...