四川大学学报工程科学版第34卷第3期Vol.34No.3JOURNALOFSICHUANUNIVERSITY(ENGINEERINGSCIENCEEDITION)2002年5月May2002:100923087(2002)0320092204面向对象的热传导时空有限元分析波,魏泳涛3,于建华曹(四川大学建筑学院土木力学系,四川成都,610065)摘要:基于Gurtin变分原理,推导并建立了求解瞬态热传导方程的时空有限元列式,构造了适合处理时空有限元的单元类并封装了卷积运算。最后对二维热传导算例编程进行计算,计算结果表明时空有限元法计算精度高,稳定收敛,是一种有效的方法,同时面向对象技术的使用大大提高了编程的效率和程序的通用性。关键词:Gurtin变分原理;时空有限元法;热传导方程;面向对象方法:O24文献标识码:ASpace2timeFiniteElementAnalysisforHeatConductionviaObject2orientedApproachCAOBo,WEIYong2tao,YU激an2huaAbstract:BasedontheGurtinvariationalprinciple,theformulaofspace2timefiniteelementmethodfortransientheatconduc2tionequationwerederived.Thespace2timeelementclasswasestablished,andtheconvolutionwascomputedviaobject2orient2edapproach.Finallyatwo2dimensionalexamplewascomputed,andtheresultsdemostratedtheconvergenceandhighaccuracyofthespace2timeFEM.Keywords:gurtinvariationalprinciple;space2timefiniteelementmethod;heatconductionequation;在石油、化工、核电等许多部门,常常需要求解瞬态的温度场,有限元是进行瞬态温度场分析的一种有效的数值方法。传统的有限元法一般采用空间上用有限元离散而时间上用有限差分离散这种分步离散方法。一种新的思路是对空间变量和时间变量同时进行离散,这种方法称为时空有限元法。时空有限元法是解决时间依赖性(time2dependent)问题的一种有效方法,其思想最早由Nickell,Sackman等人提出1。他们在求解域中增加一个时间维,通过对空间域和时间域的同步离散来构造有限元模型,从而避免了空间域和时间空间上的边值问题,Gurtin于1964年提出了一种变分原理2,它通过Laplace变换及其逆变换将初始条件引入平衡方程,从而将混合初边值问题转化为等价的边值问题。这个变分原理完整地表达了这类问题的解答并且为人们构造时空有限元提供了一个新的途径。采用面向对象技术构造出了时空有限元单元类,并特别对卷积的运算进行了处理。文献查阅表明,将面向对象的技术运用到时空有限元程序设计中,尚1时空有限元模型1.1瞬态热传导方程及其Gurtin变分的泛函在不考虑相变的情况下,各向同性且均匀材料的瞬态温度场微分控制方程是:收稿日期:2001206218作者简介:曹波,男(19772),硕士生.研究方向:固体力学.3通讯联系人5T2Bρcp5t(1)=kT+q93第3期曹波,等:面向对象的热传导时空有限元分析式中,T为温度,℃;ρ为材料密度,kg/m3;cp为材料的定压比热,J/(kg·℃);k为材料的热传导系数,W/(m1.3时空有限元模型的构造将(5)式代入(4)式,得到单元泛函的矩阵形式表达式:℃);qB为体热源,W/m3;边界条件为:为向量微分算子。其相应的φe=∫(TTTTTTTBeN3NTe+Teα3B3BTe-2TeN3β3q-=¯TvT|S12TeN3T0)dV+2∫TeN3β3qdA+TTTTS5TSk5n=-qS2S2(2)∫S3TTTThβ3(Tf3Tf-2TN3T+TN3NT)dAefee5Tk5n=h(Tf-T)S3(9)初始条件为:式中,B为节点温度对坐标的梯度算子矩阵。(3)T|t=0=T0根据Gurtin变分原理,令泛函φ取极值,得:e其中,qS为热流向量,W/m2;h为放热系数,W/(m2·℃);Tf为外界环境温度,℃。根据Gurtin变分原理2,由平衡方程和边界条件得到适合于时空有限元的泛函3:(9)KeTe=Fe其中,热传导刚度矩阵K和热力向量F分别为:ee=∫vN3N+α3B3BdV+hβ3N3NdA(TT)T∫SKe3(10)φ=∫vT3T+α3B(T3T-2β3q3T-2T03TdV+)Fe=∫(N3β3q+N3T0)dV-TBT2∫Sβ3q3TdA+∫hβ3Tf-T3Tf-S()(TdA)vS32∫S3∫SNT3β3qdA+hN3β3TfdAST(4)31k(11)根据边界条件和初值条件,在求得单元刚度矩阵和单元热力向量之后,可按普通有限元的方法进行组集,并求解线性方程组,得到t=Δt(Δt为时间步长)时刻的温度。再把此时刻的温度做为下一时刻的初始温度代入方程计算下一时刻的温度场。通过这种更替初始条件的方法,可求得温度场内任意点任意时刻的温度。其中,3为卷积运算符,α=,β=。ρcp1.2单元温度模式...