考查角度3双曲线的标准方程与几何性质分类透析一双曲线的定义与应用例1过双曲线x216-y29=1左焦点F1的直线与左支交于A,B两点,且弦AB长为6,则△ABF2(F2为右焦点)的周长是().A.16B.19C.22D.28解析由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8,|BF2|-|BF1|=8,两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|-|AB|=16,从而有|AF2|+|BF2|=16+6=22,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=22+6=28.答案D方法技巧与焦点有关的三角形周长问题,常借助双曲线的定义解决,注意解决问题时的拼凑技巧.分类透析二双曲线的标准方程求解与应用例2设A、B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4❑√3,焦点到渐近线的距离为❑√3,则双曲线的标准方程为.解析由题意知a=2❑√3. 双曲线的一条渐近线为bx-ay=0,∴|bc|❑√b2+a2=b=❑√3.∴双曲线的标准方程为x212-y23=1.答案x212-y23=1方法技巧关于双曲线的标准方程的确定问题,常用的方法有待定系数法和几何法等,对于待定系数法,需要建立关于a,b,c的等式,然后确定其焦点位置,从而写出其标准方程.分类透析三双曲线的几何性质及应用例3已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围为.解析因为|PF1|=4|PF2|,点P在双曲线的右支上,所以设|PF2|=m,则|PF1|=4m.由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=4m-m=2a,所以m=23a.又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即4m+m≥2c,所以m≥25c,即23a≥25c,所以e=ca≤53.又e>1,所以双曲线离心率的取值范围为(1,53].答案(1,53]方法技巧求解双曲线的离心率问题,是高频考点,建立关于a,b,c的等量关系式,是解决此类问题的关键.本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a,c的不等关系,使问题得以巧妙地转化、获解.1.(2018年全国Ⅰ卷,理11改编)已知双曲线x29-y2b2=1(b>0)的左顶点为A,虚轴长为8,右焦点为F,且以F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,若过点A作该圆F的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|=().A.8B.4❑√2C.2❑√3D.4❑√3解析 2b=8,∴b=4,c=5,∴A(-3,0),F(5,0), 点F到双曲线的渐近线的距离为b,∴☉F:(x-5)2+y2=16.设MN交x轴于点E,在Rt△AMF中,|FE|=|MF|2|AF|=423+5=2.∴|AE|=8-2=6.又|ME|2=|AE|·|EF|=12,∴|MN|=2|ME|=4❑√3,选D.答案D2.(2018年全国Ⅱ卷,文6改编)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.解析双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,由渐近线过点(3,-4),可得-4=-3ba,即b=43a.又c=❑√a2+b2=❑√a2+169a2=53a,所以双曲线的离心率e=ca=53.答案533.(2016年全国Ⅱ卷,理11改编)已知F1、F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直且交双曲线于点N,△MF2N为等边三角形,则E的离心率为().A.❑√2B.32C.❑√3D.2解析由题意知,|MN|=2|MF1|=2b2a.因为△MF2N为等边三角形,所以❑√32×2b2a=2c,解得❑√3e2-2e-❑√3=0,即e=❑√3或e=-❑√33(舍去),故选C.答案C4.(2018年江苏卷,8改编)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A(a,0)到一条渐近线的距离为❑√32b,则双曲线离心率为.解析由题意知,双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,则点A到该直线的距离d=ab❑√b2+(-a)2=❑√32b,即abc=❑√32b,所以e=ca=2❑√33.答案2❑√331.(河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-2,4),则它的离心率为().A.❑√52B.❑√3C.2D.❑√5解析由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±abx,则渐近线y=-abx过点(-2,4),即a=2b.又c=❑√a2+b2=❑√5b,所以e=ca=❑√5b2b=❑√52.故选A.答案A2.(辽宁省凌源市2018届高三毕业班一模考试试题)已知双曲线C的中点在原点O,焦点F(-2❑√5,0),点A为左支上一点,满足|OA|=|OF|且|AF|=4,则双曲线C的方程为().A.x216-y24=1B.x236-y216=1C.x24-y216=1D.x216-y236=1解析设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A(x0,y0),因为左焦点坐标为F(-2❑√5,0),所以OF=c=2❑√5.因为|OA|=|OF|,|AF|=4,所以{❑√x02+y02=2❑√5,❑√(x0+2❑√5)2+y02=4,解得{x0=-6❑√55,y0...