一元函数积分与二元函数积分的区别与联系

一元函数积分与二元函数积分的区别与联系学生姓名:李金辉学号:20105031137数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师:董丽职称:讲师摘要:本文主要介绍了一元函数积分与二元函数积分的定义、性质和计算,并讨论了定积分与曲线积分、二重积分的区别与联系.关键词:不定积分;含参量积分;定积分;曲线积分;二重积分ThedifferencesandrelationsbetweensinglevariableintegralandbinaryfunctionintegralAbstract:Thispapermainlyintroducesthedefinitions,properties,andcalculationsofsinglevariableintegralandbinaryfunctionintegral,anddiscussesthedifferencesandrelationsofdefiniteintegral,curveintegral,anddoubleintegral.Keywords:indefiniteintegral;integralwithparameter;definiteintegral;curveintegral;doubleintegral前言一元函数积分与二元函数积分有着本质上的区别,但是其性质以及计算过程却有着千丝万缕的联系,作为初学者,我惊叹于其中的联系,在此我浅谈一元函数积分与二元函数积分的性质以及其区别与联系.1不定积分与含参量积分1.1不定积分的定义定义1.1设函数与在区间上有定义.若,则称为在上的一个原函数.定义1.2函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量.1.2不定积分的结果不定积分与原函数是总体与个体的关系,即若是是的一个原函数,则的不定积分是一个函数族,其中是任意常数,记作这时又称c是积分常数.1.3含参量积分的定义(1)含参量正常积分一般地,设为定义在区域上的二元函数,其中为定义在上的连续函数(图一),若对于上每一固定的值,作为的函数在上可积,则其积分值是在上取值的函数,记作(图一)---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---XYOG()ycx()ydx(2)含参量反常积分设函数定义在无界区域上,其中为一个区间,若对每一个固定的反常积分⑴都收敛,则它的值是在上取值的函数,记作称为⑴式定义在上的含参量的无穷限反常积分.函数对于函数族是集合与元素的关系,含参量积分的存在性与不定积分有较大区别,并且含参量积分的计算是看作定积分来计算的.2定积分的定义及部分性质2.1定积分的物理背景(1)曲边梯形的面积.(2)变力的功—变力沿x轴由a移动到点b,并设处处平行于x轴.2.2定积分的定义核心思想:做分割,近似求和,取极限.定义2.1设闭区间上有n-1个点依次为:,它们把分成n个小区间,这些闭子区间或者这些分点构成对的一个分割,记为小区间的长度,并记称为分割的模.定义2.2设是定义在上的一个函数,对于上的任一分割---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---任取点,并做和式,称此和式为在上的一个积分和,也称黎曼和.定义2.3设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数,若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有,则称函数在区间上可积或黎曼可积,数称为在上的定积分或黎曼积分,记作2.3可积条件对于定义在区间上的函数:(1)可积的必要条件:若在上可积,则在上必定有界.(2)可积的充要条件:函数在上可积,使得(3)可积的充分条件①连续必可积.②只有有限个间断点的有界函数可积.③单调则可积.2.4定积分的性质(1)线性性质①若在上可积,为常数则在也可积,且---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---②若,都在上可积,则在上可积且③若,都在上可积,则在上也可积④若,都在上可积,有.(2)不等式性质①设为可积函数,若,,则.②若设为上的可积函数,则在上也可积,且.(3)积分第一中值定理:若,则至少存在一点,使(4)推广的积分第一中值定理:若上连续,且不变号,则至少存在一点,使得3曲线积分的定义及计算3.1第一型曲线积分的物理背景设物体的密度函数是定义在上的连续函数.当是直线段时用定积分就---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---能计算得到该物体的...

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