第一章度量空间第一章度量空间Rxxx|?|x|x|x?xxxx这两的极限是的接近程度，事实上，时，我们使用来表示和若在实数集和中点列可表示为数轴上nnnnnRlimd(x,x)?0xxxx?n?．也就是指0和之间的距离随着，即中点列点间的距离，那么实数集收敛于于是人们就想，而趋于nnnn??XX中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？，那么在点集在一般的点集中如果也有“距离”诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？1.1度量空间的定义与极限1.1.1度量空间的定义与举例Xd:X?X?R?x,y,z?X，均满足以下三个条件：，使得1.1.1设为一非空集合．若存在二元映射定义x?y0)?d(x,yd(x,y)?0,(非负性Positivity且)；（1）当且仅当d(x,y)?d(y,x)(对称性Symmetry)；（2）d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)(3（）三角不等式Triangleinequality)，Xy)dX,(),yd(xdx两点间的则称为距离称为．□上的一个距离函数，称(MetricSpaces)，和为距离空间或度量空间X),d(X．可简记为注1：在不产生误解时，下面我们来看一些具体的例子nR．例1.1.1欧氏空间n},2,,i?1,n,?{(x,x,x)|x?RR，定义设i2n1n?2)x?y)?y(xd(,．ii1i?nn),yy,y,xx,x,,),y?((x?,d)(RR?是一个度量空间．，可以验证其中n2121n在证明之前，引入两个重要的不等式．n2,a,b,b,aa,,,b，有任给个实数)许瓦兹1.1.1引理((Schwarz)不等式n1n22111nnn???22b)a)(ab?(22(1.1)iiiii?1i?1i?1?，则由证明任取实数11.1度量空间的定义与极限nnnn????2222???a?2b?b(a?b)?0?aiiiiii11ii?11?i?i?即知右端二次三项式的判别式不大于零，2nnn?????22?b?4ab??20a??iiii??1i?1ii?1?(1.1)式成立．□于是可得lder不等式进一步有H?11nnnpq???qp)?(ba)ab(iiii1?i?1i?1i11p,q1p,q?1??为一对共轭数．，称这样的两个实数其中且pq2na,a,,b,,b,ab，有个实数引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)及不等式的和形式任给n2112n111nnn??????222???222b?aa?b)?(??????(1.2)iiii??????1i?1?ki?1式得由(1.1)证明nnnn????222bab?a?2?(ab)?iiiiii1?i?1ii?1i?111nnnn????22????2222a???2b?ab????iiii????1ii??11?i1?i211??nn????22????22ba??????ii??????1ii?1???这就证明了(1.2)式．□k?1进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中111nnnkkk???b)a)?b)?(((akkkiiii1??1ii?1inn?{(x,x,,x)|x?R,i?1,2,,n}k?1RR设，定义例1.1.1欧氏空间．i12nn?2)?)?y(xd(x,y．(1.3)ii1i?nn)y,y,,,x),y?(y,x?(x,x,d)(RR?是一个距离函数．，可以验证其中n21n21nR?,z)?(z,z,z，由闵可夫斯基不等式(1.2)有(3)也成立．对于任意的非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证证明n2111nn????2222??????z??x?zx?y?y????iiiiii????1?1?ii11nn????2222???????zx?yy??，????iiii????1i?1?id(x,z)?d(x,y)?d(y,z)d是一个距离函数．□．从而得证即nndn)d(R,R，均指由，2注：称(1.3)称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间式的欧氏距离为欧氏空间维所定义的．nR中我们还可以定义其他的距离：：在注3d(x,y)?max|x?y|；k1k2第一章度量空间n?|x??y|d(x,y)．kk2k?1dd均满足条件(1)、(2)和可以验证距离(3)、．212dddR，可看看他们各表示什么？、：在中比较上述三种距离和注421由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间．例1.1.2离散度量空间X?x,y?X，定义距离为非空集合，设0当x?y时?d(x,y)??(1.4)01当x?y时?d(X,d)为离散度量空间．满足距离的三个条件，并称之为离散距离，容易验证00C[a,b]连续函数空间1.1.3...