专题05函数的单调性名校重难点题型分类高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《函数的单调性》这一节的五种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：判断函数的单调性、求函数的单调区间、具体函数单调性的应用、抽象函数单调性的应用、分段函数单调性的应用。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生期中、期末考前刷题时使用。题型一：判断函数的单调性：取值-作差-变形-确定符号1．已知函数，（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【解答】（1）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，＝， x1＜x2∴x1﹣x2＜0， x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[1，+∞）上是增函数（2分）（2）解：由（1）知：f（x）在[1，4]上是增函数，∴当x＝1时，有最小值2；当x＝4时，有最大值.2．已知函数f（x）＝x﹣．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．（2）求函数f（x）在[1，4]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝x﹣在（0，+∞）上是增函数；证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣）﹣（x2﹣）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2，则（x1﹣x2）＜0，且＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，即函数f（x）＝x﹣在（0，+∞）上是增函数；（2）由（1）的结论：函数f（x）＝x﹣在（0，+∞）上是增函数；则函数f（x）在[1，4]上的最大值为f（4）＝4﹣1＝3，最小值为f（1）＝1﹣4＝﹣3．3．已知函数f（x）＝．（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．（3）求使不等式f（x）﹣2m2+2m＞0在x∈[1，4]上恒成立时的m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝＝2﹣，即有函数f（x）在区间[1，+∞）上递增．理由如下：设1≤m＜n，则f（m）﹣f（n）＝2﹣﹣（2﹣）＝，由1≤m＜n，可得m﹣n＜0，（m+1）（n+1）＞0，即有f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．故f（x）在区间[1，+∞）上递增；（2）该函数在区间[1，4]上递增，即有f（1）取得最小值，f（4）取得最大值．（3）不等式f（x）﹣2m2+2m＞0在x∈[1，4]上恒成立，即为2m2﹣2m＜f（（x）的最小值，由（2）可得f（x）在[1，4]的最小值为，即有2m2﹣2m＜，解得﹣＜m＜．则m的取值范围是（﹣，）．4．已知f（x）＝是定义在（﹣2，2）上的函数，（1）判定单调性，并证明．（2）f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）在（﹣2，2）上是单调递减的．…（1分）证明：令﹣2＜x1＜x2＜2，则…（2分）＝＝…（4分） ﹣2＜x1＜x2＜2，∴…（5分）∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（﹣2，2）上是单调递减的．…（6分）（2） f（x）在（﹣2，2）上是减函数，且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，即f（m﹣1）＞f（1﹣2m）∴…（11分）解得…（12分）∴m的取值范围是（﹣）…（13分）题型二：求函数的单调区间5．函数的单调递增区间是（）A．B．C．[4，+∞）D．【解答】解：令x2﹣5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2﹣5x+4的对称轴是：x＝，由复合函数同增异减的原则，故函数的单调递增区间是[4，+∞），故选：C．6．函数f（x）＝的单调递增区间是．【解答】解：设t＝2x﹣x2，则y＝为增函数，由2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，函数t＝2x﹣x2的对称轴为x＝1，要求f（x）的单调递增区间，即求函数t＝2x﹣x2的单调递增区间， t＝2x﹣x2的单调递增区间为[0，1]，∴函数f（x）的单调递增区间为[0，1]，故答案为：[0，1]7．函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]【解答】解：函数f（x）＝|x2﹣6x+8|，当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，可得f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，即有f（x）在（4，+∞）递增；当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，可得f（x）＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，即有f（x）在（2，3）递增；则f（x）...