7.3.1复数的三角表示式导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.知道复数的模和辐角的定义2.会求复数的模和辐角主值3.能求出复数的三角形式【自主学习】知识点1复数的三角形式1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2．非零复数z辐角θ的多值性以x轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)(k∈Z)．3．辐角主值(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．知识点2复数的代数形式与三角形式的互化复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为【合作探究】探究一代数形式与三角形式的转换【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ.[解](1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－cosθ－isinθ)，复平面上点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．归纳总结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z3＝－sinθ＋icosθ；(2)z4＝－sinθ－icosθ；(3)z5＝cos60°＋isin30°.解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ)．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(2)不是三角形式，同理(1)可得z4＝－sinθ－icosθ＝cos(π－θ)＋isin(π－θ)．(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5＝cos60°＋isin30°＝＋i＝(1＋i)＝×(cos＋isin)＝(cos＋isin)．探究二将复数的三角形式化为代数形式【例2】将复数化为代数形式为________．【答案】－＋i[解析]＝3＝－＋i.归纳总结：将复数的三角形式rcosθ＋isinθ化为代数形式a＋bia，b∈R时，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.【练习2】复数的代数形式是.【答案】－3－3i解析：＝6＝－3－3i.探究三复数的模与辐角主值【例3】求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．[解]z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2－1)＋2i·sincos＝2cos(cos＋isin)，①---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除--- π<θ<2π，∴<<π，∴cos<0，∴①式右端＝－2cos(－cos－isin)＝－2cos[cos(π＋)＋isin(π＋)]，∴r＝－2cos，z的辐角为π＋＋2kπ(k∈Z)． <<π，∴π<π＋<2π，∴argz＝π＋.归纳总结：复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈[0，2π.【练习3】将z＝(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．解：z＝＝＝＝＝cos2θ＋isin2θ. π<θ<3π，∴π<2θ<6π，∴π<2θ－4π<2π，∴argz＝2θ－4π.探究四复数辐角的应用【例4】复数z满足arg(z＋3)＝π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值．[解]由arg(z＋3)＝π，知z＋3的轨迹是射...