第12讲利用导数证明不等式【学习目标】利用导数证明不等式【备考指南】导数与不等式【考点解析】【考点】一、不等式的证明方向1：移项作差构造法【例1】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直。(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥。解(1)因为f(x)＝1－，所以f′(x)＝，f′(1)＝－1。因为g(x)＝＋－bx，所以g′(x)＝－－－b。因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。(2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x，则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0。令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1。因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0，所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥。待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证。【变式】已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1。(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)证明：f(x)<sinx在(0，＋∞)上恒成立。解(1)依题意得f′(x)＝lnx＋1－ex，又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x。(2)证明：依题意，要证f(x)<sinx，即证xlnx－ex＋1<sinx，即证xlnx<ex＋sinx－1。当0<x≤1时，ex＋sinx－1>0，xlnx≤0，故xlnx<ex＋sinx－1，即f(x)<sinx。当x>1时，令g(x)＝ex＋sinx－1－xlnx，故g′(x)＝ex＋cosx－lnx－1。令h(x)＝g′(x)＝ex＋cosx－lnx－1，则h′(x)＝ex－－sinx，当x>1时，ex－>e－1>1，所以h′(x)＝ex－－sinx>0，故h(x)在(1，＋∞)上单调递增。故h(x)>h(1)＝e＋cos1－1>0，即g′(x)>0，所以g(x)>g(1)＝e＋sin1－1>0，即xlnx<ex＋sinx－1，即f(x)<sinx。综上所述，f(x)<sinx在(0，＋∞)上恒成立。方向2：特征分析法【例2】)已知函数f(x)＝ax－lnx－1。(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；(2)证明：＋x＋lnx－1≥0；(3)已知k(e－x＋x2)≥x－xlnx恒成立，求k的取值范围。解(1)f(x)≥0等价于a≥(x>0)。令g(x)＝，则g′(x)＝，所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1，则a≥1，所以a的最小值为1。(2)证明：由(1)知当a＝1时有f(x)＝x－lnx－1≥0成立，即x≥lnx＋1，即t≥lnt＋1。令＝t，则－x－lnx＝lnt，所以≥－x－lnx＋1，即＋x＋lnx－1≥0。(3)因为k(e－x＋x2)≥x－xlnx，即k≥1－lnx恒成立，所以k≥＝－＋1，由(2)知＋x＋lnx－1≥0恒成立，所以－＋1≤1，故k≥1。这种方法往往要在前面问题中证明出某个不等式，在后续的问题中应用前面的结论，呈现出层层递进的特点。【变式】已知函数f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；(3)证明：＋＋＋…＋<(n∈N*且n>1)。解(1)因为f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1，所以f′(x)＝－k，x>1。所以当k≤0时，f′(x)＝－k>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当k>0时，令f′(x)>0，得1<x<1＋，令f(x)<0，得x>1＋，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数。(2)因为f(x)≤0恒成立，所以∀x>1，ln(x－1)－k(x－1)＋1≤0，所以∀x>1，ln(x－1)≤k(x－1)－1，所以k>0。由(1)知，当k>0时，f(x)max＝f＝－lnk≤0，解得k≥1。故实数k的取值范围是[1，＋∞)。(3)证明：令k＝1，则由(2)知，ln(x－1)≤x－2对任意x∈(1，＋∞)恒成立，即lnx≤x－1对任意x∈(0，＋∞)恒成立。取x＝n2，则2lnn≤n2－1，即<，n≥2，所以＋＋＋…＋<(n∈N*且n>1)。方向3：隔离分析法【例3】已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)。(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0。解(1)f′(x)＝－a(x>0)，①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减。(2)因...