高中数学必修四2.4nbsp;平面向量的数量积nbsp;小结导学案2.4平面向量的数量积小结【学习目标】1.理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．【新知自学】知识梳理：1．向量的夹角已知两个________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．2．平面向量的数量积__________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab＝__________.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．数量积的记号是ab，不能写成a×b，也不能写成ab.向量数量积满足下列运算律：①ab＝__________(交换律)②(a＋b)c＝__________(分配律)③(λa)b＝__________＝a(λb)(数乘结合律)．3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab＝|a||b|cos〈a，b〉ab＝a1b1＋a2b2模aa＝|a|2或|a|＝aa|a|＝a21＋a22若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)|AB→|＝a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＝0夹角cos〈a，b〉＝ab|a||b|(|a||b|≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22|ab|与|a||b|的关系|ab|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22对点练习：1．已知下列各式：①|a|2＝a2；②ab|a|2＝ba；③(ab)2＝a2b2；④(a－b)2＝a2－2ab＋b2，其中正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个2．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()．A．|a|＝|b|B．ab＝22C．a∥bD．a－b与b垂直3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(bc)a等于()．A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－784．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则|a＋b|＝__________.5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是__________．【合作探究】典例精析：一、平面向量数量积的运算例1、（1)在等边△ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB→BC→，|CD→|；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)(2a＋3b)和|a＋2b|.变式练习：如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→AB→＝________.规律总结：向量数量积的运算与实数运算不同：(1)若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但ab＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由ab＝ac及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a，b∈R，则|ab|＝|a||b|，但对于向量a，b，却有|ab|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．二、两平面向量的夹角与垂直例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．规律总结：1．数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系．变式练习：已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求实数m，n的值．三、求平面向量的模例3、（1）设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝__________.（2）已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.(1)求ab及|a＋b|；(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．规律总结：利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝aa；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2ab＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.变式练习：已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．四、平面向量的应用例4、已知向量OA→＝a＝(cosα，sinα)，OB→＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC→＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O为坐标原点，且0＜α＜...