用微积分知识解决的经济问题第一章常见经济函数1.需求函数与供给函数需求量是指在特定时间内,消费者打算并能够购买的某种商品的数量,用Qd表示.影响需求的因素很多,主要有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1,P2,…,Pn,个人的收入M,消费者对未来商品价格的预期pe,个人的偏好h等等.若除商品的价格P外,影响需求的其他因素不变,则Qd是P的一元函数Qd=f(P)它通常是一个单调减函数,常见的需求函数有0)(,abbPaQd0)(,abaPQbd有时,也把Qd=f(P)的反函数)(1QdfP称为需求函数.如果影响需求的各种因素均变化,则Qd是各因素的多元函数),,,(21hMpPPPfPQend；；；；供给量是指在特定时间内,厂商愿意并且能够出售的某种商品的数量,用Qs表示.影响供给的主要因素有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1,P2,…,Pn,厂商对未来商品价格的预期Pe,生产投入的的要素成本C及厂商的技术状况ρ等.若除了商品的价格P外,影响供给的其他因素均不变,则Qs是P的一元函数Qs=g(P)它通常是一个单调增函数,常见的供给函数有0)(,abbPaQs0)(,abaPQbs如果影响供给的各种因素均变化,则Qs是各因素的多元函数ρ),,,(21；；；；CPPPPgPQens当Qd=Qs时,市场的供需处于平衡状态,此时的价格图1—10QPdQsQQPP称为均衡价格,需求(或供给)量称为均衡数量(如图1—1所示).当商品由某厂商独家生产时,厂商是价格的制定者,它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产,其产量即需求量,价格与产量(需求量)的关系由需求函数确定,称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时,各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态,此后商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为(改变产量或需求量)不再影响市场均衡,称该商品市场为完全竞争市场.例1洗衣机厂生产一种型号的洗衣机,当价格为每台1500元时,需求量为6500台,价格每降低1元,则可多卖出10台.求需求量Q与价格P之间的函数关系.解由题意知,需求量Q与价格P之间为线性函数关系)10(15006500PQ2150010P例2已知某商品的需求函数和供给函数分别为PPQQsd45,5.114求该商品的均衡价格和均衡量.解由供需平衡条件有PP455.114解得均衡价格为.3455.519P将均衡价格代入需求函数,得均衡量为.8821197Q2.总成本函数、总收入函数和总利润函数在生产和经营活动中,如果投入的各要素价格不变,则成本C是产量或销售量Q的函数C=C(Q),称为总成本函数.一般地,总成本由固定成本C0和可变成本C1两部分组成C(Q)=C0+C1(Q)其中固定成本与产量无关,如厂房、设备的折旧费、企业管理费等,可变成本随产量的增加而增加,如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数有C(Q)=C0+aQ(a>0)以总成本除以产量,得平均成本函数()()()())(1010CQQCQQCQCQCQCQ其中QCQC00()与QCQCQ())(11分别称为平均固定成本与平均可变成本.厂商销售Q单位的商品所得收入为R=R(Q),称为总收入(益)函数.设商品的价格为P,则总收入函数为R(Q)=PQ若商品的需求函数为)(f1QP,且产销均衡,则总收入函数为R(Q)=PQ=Q)(1Qf总利润L是总收入R与总成本C之差,故总利润函数为()()()CQRQLQ例3生产某产品的固定成本为1万元,可变成本与产量(单位:吨)的立方成正比,已知产量为20吨时,总成本为1.004万元.求总成本函数和平均成本函数.解总成本函数C(Q)=C0+C1(Q)31kQ将C(20)=1.004代入上式,得k=1075,则总成本函数为351071()QCQ平均成本函数为251071()()QQQCQCQ例4某工厂生产某产品,年产量为Q台,每台售价为250元,当年产量在600台以内时,可以全部售出.经广告宣传后又可再多售出200台,每台平均广告费20元.若再多生产,本年就销不出去了.试建立本年的销售总收入R与年产量Q之间的函数关系.解(1)当6000Q时,QRQ250()；(2)当800600Q时,600)20)((250250600()QQR=230Q+12000；(3)当Q800时,196000230200250600()RQ.则所求函数关系为8008006006000,19600012000,230,250)(QQQQQQR例5里昂混凝土公司是阿肯色州北部唯一的供应混凝土的垄断企业.企业的混凝...