数学人教B选修2-2第一章1.4.2微积分基本定理1．理解微积分基本定理的含义．2．会用定理求定积分．微积分基本定理(1)F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之____．(2)微积分基本定理．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则f(x)dx＝__________.其中F(x)叫做f(x)的一个______．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x).因此，微积分基本定理可以写成形式：________________________________.(1)微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法．但当运用公式不能直接求积分时，需考虑用定积分的几何意义来解决．(2)利用微积分基本定理求定积分f(x)dx的关键是找出使F′(x)＝f(x)的函数F(x)．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x)．(3)求导运算与求原函数运算互为逆运算．【做一做1－1】下列各式中，正确的是()．A．F′(x)dx＝F′(b)－F′(a)B．F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)C．F′(x)dx＝F(b)－F(a)D．F′(x)dx＝F(a)－F(b)【做一做1－2】计算(2x－4)dx＝________.求定积分有哪些常用技巧？剖析：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)对被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．题型一利用微积分基本定理求函数的定积分【例题1】求下列定积分：(1)(2＋x2)2dx；(2)dx；(3)cos(x－)dx.分析：将被积函数适当变形，确定原函数，再运用微积分基本定理求解．反思：(1)求f(x)dx一般分为两步：①求f(x)的原函数F(x)，②计算F(b)－F(a)的值即为所求．(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质．①有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx.②常数因子可提到积分符号外面，即kf(x)dx＝kf(x)dx.③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即f(x)dx＝－f(x)dx.④定积分对区间的可加性，若c∈[a，b]，则有f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.题型二几类特殊被积函数的定积分【例题2】求下列定积分：(1)dx；(2)若f(x)＝求f(x)dx；(3)dx.分析：由于被积函数不是基本初等函数，因此需要先变换被积函数，再求定积分．反思：(1)对于直接用微积分基本定理不易求解的题目，转化为用定积分的几何意义来求解，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本节内容的关键．(2)对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．要注意各段定积分的上、下限的取值．(3)对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分．若是计算|f(x)|dx，需要去掉绝对值符号，这时要讨论f(x)的正负，转化为分段函数求原积分．题型三利用定积分求平面图形的面积【例题3】下图中，阴影部分的面积是()．A．16B．18C．20D．22反思：求平面图形的面积的一般步骤是：(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积的和，即各积分的绝对值之和．1(sinx＋cosx)dx的值是()．A．0B．C．2D．42曲线y＝cosx与坐标轴所围成的图形的面积是()．A．2B．3C．D．43如图，阴影部分的面积是()．A．2B．2－C．D．4计算dx＝________.5已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.答案：基础知识·梳理(1)差(2)F(b)－F(a)原函数f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)【做一做1－1】C【做一做1－2】5 (x2－4x)′＝2x－4，∴(2x－4)dx＝(x2－4x)＝(52－4×5)－0＝5.典型例题·领悟【例题1】解：(1) (x2＋2)2＝x4＋4x2＋4，又′＝x4＋4x2＋4，∴(2＋x2)2dx＝(x4＋4x2＋4)dx＝＝.(2) ＝＋＝，又′＝，∴dx＝()dx＝＝×＋2×－＝.(3) cos(x－)＝cosx＋sinx，∴cos(x－)dx＝dx＝cosxdx＋sinxdx＝sinx－cosx＝－sin－＝－＋＋＝0.【例题2】解：(1)设y＝，即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)， dx表示圆(x－3)2＋y2...