专题19圆解答题1．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上．(1)【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________．(2)【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)或(2)成立，理由见解析(3)存在，4【解析】【分析】（1）先画出图形，再结合实际操作可得再利用勾股定理求解AC，BC，从而可得答案；（2）解法1：设半径为的圆与直线的交点为．利用勾股定理可得，即，可得，可得上，从而验证猜想；解法2：设半径为的圆与直线交点为，可得，解方程可得．则，再消去，可得，从而验证猜想；（3）如图，设所描的点在上，由，建立方程，整理得结合，都是正整数，从而可得答案．(1)解：如图，∴∴故答案为：或(2)小明的猜想成立．解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为．因为，所以，即，所以，所以上，小明的猜想成立．解法2：设半径为的圆与直线交点为，因为，所以，解得，所以．，消去，得，点在抛物线上，小明的猜想成立．(3)存在所描的点在上，理由：如图，设所描的点在上，则，因为，所以，整理得，因为，都是正整数，所以只有，满足要求．因此，存在唯一满足要求的，其值是4．【点睛】本题考查的是切线的性质，垂径定理的应用，坐标与图形，二次函数的图像与性质，勾股定理的应用，方程的正整数解问题，理解题意，建立几何模型与函数模型是解本题的关键．2．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．【答案】见解析【解析】【分析】根据命题的题设：垂直于弦的直径，结论：CD平分AB，CD平分写出已知，求证，再利用等腰三角形的性质，圆心角与弧之间的关系证明即可．【详解】已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．求证：，，．证明：如图，连接、．因为，，所以，．所以，．所以．【点睛】本题考查的是命题的证明，圆心角与弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，熟练的运用在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是解本题的关键．3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．【答案】(1)；见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作；（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．(1)解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案为：；取格点，作射线交于点P，点P即为所求作；(2)解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；证明：作直径AN，连接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠...