2021年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题19锐角三角函数（共50题）一．选择题（共14小题）1．（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42❑√3米B．14❑√3米C．21米D．42米【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．【解析】根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42❑√3（米）故选：A．2．（2020•凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．12B．❑√22C．2D．2❑√2【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．【解析】如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD¿❑√22+22=¿2❑√2，BD¿❑√12+12=❑√2，∴tanA¿BDAD=❑√22❑√2=12，故选：A．3．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+btanαB．a+bsinαC．a+btanαD．a+bsinα【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b， ∠ACF＝α，∴tanα¿AFCF=AFb，∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+btanα，故选：A．4．（2020•聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．3❑√55B．❑√175C．35D．45【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中， AH＝4，CH＝3，∴AC¿❑√AH2+CH2=❑√42+32=¿5，∴sin∠ACH¿AHAC=45，故选：D．5．（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．❑√26B．❑√2626C．❑√2613D．❑√1313【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【解析】如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB¿❑√32+22=❑√13，AC¿❑√32+32=¿3❑√2， S△ABC¿12AC•BD¿12×3❑√2•BD¿12×1×3，∴BD¿❑√22，∴sin∠BAC¿BDAB=❑√22❑√13=❑√2626．故选：B．6．（2020•重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米B．24米C．24.5米D．25米【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．【解析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M， 斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，∴设EF＝x，则DF＝2.4x．在Rt△DEF中， EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，解得x＝30，∴EF＝30米，DF＝72米，∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米． EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中， ∠AEM＝43°，∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．故选：D．7．（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°¿ACCD=12+❑√3=2...