精品文档《概率论与数理统计》习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231011131Cg???382221112Cg???3/8322203180011?2282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY213.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为258XY0.150.40.300.350.050.120.805015112522330.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；【解】（1）X和Y的边缘分布如下表258P{Y=y}XiY0.80.350.40.300.150.80.030.20.050.120.380.420.2}x?{PXi03000?310C5022gCC332?4C357?310C5113gCC34C71011Y?P{01}y211ggCCC6223?4C3573112ggCCC12322?4C357?210C563gCC34C7102P(0黑,2红,2白)=1224?CCgC/72235i10121ggCCC6223?435C71022gCC323?435C71003353.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22?其他.0,?πππ??,?x??y?0内的概率）在长方形域，Y.求二维随机变量（X??463??πππ,P{0?X?Y?}?公式(3.2)如图【解】463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,)434636.精品文档ππππππggggsin?sin00sin?sinsin??sinsinsin66343421).3??(43题图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度)?(3x?4y?,,x?0,Aey?0）=x，yf（?,.0其他?；常数A（求：1））的分布函数；X，Y（2）随机变量（<2}.，0≤Y）P{0≤X<1（3A????????)y-(3x?4????1Aexdy?x(x,y)ddy??df1【解】（）由120??0??A=12得（2）由定义，有xy??vF(x,y)?d)duf(u,v????yy?)vu?(3?4y4x?3????12edudv0,??)(1?e0,x(1?ey)?????00其他0,??0,?2}?Y?P{0?X?1,0(3)2}Y??{0X?1,0??P218??3?(3x?4y)??0.9499.?))(1?e?d?xd12ey(1?e00Y5.设随机变量（X，）的概率密度为,2x0yx6k(??),??,y?2?4?y）=（fx，?,其他0.?1（）；k确定常数P2（）求{3}Y1X＜，＜；P3（）求<1.5}；X{求）（4P+X{Y≤4}.【解】）1（由性质有.精品文档4????2????1,f(x,y)dxdy?8k?dk(6?x?y)dyx?2????01?R故831??xd)dyf({X?1,Y?3}?x,yP2）（????3131???xy)dyd?k(6?x?8820????f(x,y)dxxdy如图ady,f1.5}P{X??(xy)d(3)D1.5x?112741.5??.?yx)dy(6??x?d32820????yd)dx(x,?P{X?Y?4}yx,y)dxdy如图bff((4)D4YX??212x2?4??(6??xdx?y)dy?.8320题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为?5y?,y?5e0,f（y）=?Y0,其他.?求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为1?,0?x?0.2,?f(x)?0.2?X?其他.0,?而.精品文档y5??0,?,5ey?)f(y?Y0,.其他?所以)(y)gfX,Y独立f(xf(x,y)YX1?y?5y?5?5e?0,且y?,0?25ex?0.2???0.2??其他.0,??0,??5y????dxy如图d25e?X)yf(x,y)dxdP(Y?(2)Dy?xx0.20.2xy5?-5???x(?5edx5)d25edy???000-10.3679.=e?7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为?4x?2y?),x?0,y)(1?e?(1?e0,F（x，y）=?其他.0,?求（X，Y）的联合分布密度.?(4x?2y)?2,x?0,y?0,8e)(x,?yFf(x,y)??【解】??x?y其他.0,?8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?）=yf（x，?0,其他.?.求边缘概率密度???f(x,?(fx)y)dy【解】X??x?2??yx)d4.8y(2?2.4x(2?x),0?x?1,?=???0其他.0,??0,????f(x,y)dyf()?xY??1??2x?x)d4.8y(2?1,y?y),0?42.4y(3?y??=?y??其他.0,??0,?.精品文档题9图题8图Y）的概率密度为9.设二维随机变量（X，y??,xe?y,0?y）=f（x，?,其他.0?.求边缘概率密度???yx)?y)df(x,f(【解】X?????y?x???yde0,?e,x??=??x0,.其他??0,????xf(x,yf(y)?)dY??y?y?x???xed0,yey?,??=??00,其他.??0,?图题10，Y）的概率密度为10.设二维随机变量（X22?,?cx1y,x?y）=f（x，y?,.0其他?；（1）试确定常数c.求边缘概率密度（2）????????ydx(x,yfx(如图,y)dxdy)df1）（【解】????D4112??c??ydy=xd1.cx212x-121?c.得4???f(x,?x(f)y)dy(2)X??.精品文档2121??1422?1,?1?xx(1?x),?yxyd????842??x??0,0,.其他?????xy)df(xf(y)?,Y??5?21...