2.1.4函数的奇偶性[学习目标]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.[知识链接]1.关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形.3.观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答案图象关于原点对称.[预习导引]1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.解决学生疑难点要点一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解(1) 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(2) 函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3) 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.跟踪演练1(1)下列函数为奇函数的是()A.y＝|x|B.y＝3－xC.y＝D.y＝－x2＋14(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案(1)C(2)A解析(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.(2) f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.要点二利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.答案(－2,0)∪(2,5)解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).规律方法给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).跟踪演练2设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.答案{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解. 当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解是－5≤x＜－2或2＜x≤5.要点三利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数f(x)(x∈R)是奇函...