专题05抛物线及其性质【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷，理数】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【解析】设，则，所以，所以.取AB中点,分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设F为的焦点.因为,所以.因为为AB中点，所以平行于x轴.因为M(−1,1)，所以，则，即.故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点,分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率.【命题意图】1．理解数形结合的思想．2．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．【命题规律】抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想．【答题模板】1．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程．3．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．【方法总结】1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解．4．有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值．1．（2020·四川省石室中学高三月考（理））已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为．若，（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】【分析】如图，先证明，,所以点P是MN的中点，根据中位线性质和抛物线的定义即得解.【详解】如图，由题得,,所以.所以,所以,所以,所以，所以,即点P是MN的中点，所以故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．（2020·广东省高三其他（文））已知F是抛物线y2=4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且¿AP∨¿∨AF∨¿3，则直线l的斜率为（）A．±lB．❑√2C．±❑√2D．2❑√2【答案】C【解析】【分析】先根据¿AP∨¿∨AF∨¿3，结合抛物线的定义，求出A点坐标，得到P点坐标，进而可得直线斜率.【详解】因为点A在抛物线y2=4x上，且¿AP∨¿∨AF∨¿3，点P在抛物线的准线上，由抛物线的定义可知，AP⊥直线l，...