2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典5.3导数在研究函数中的应用解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.【详解】因为，所以，当时，，则在为减函数，因为，所以，即，故选：B2．函数是上的单调函数，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．3．函数（其中为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，得出函数图像的大概图形，然后逐个判断图像即可【详解】令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又令，所以，有两个零点，因为，，所以，，且当时，，，当时，，，当时，，，选项D满足条件故选：D【点睛】关键点睛：利用导数研究函数的单调性，得出函数图像的大概走势为：当时，，，当时，，，当时，，；本题难度属于中档题4．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解.【详解】已知函数，则，因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，解得，所以实数的取值范围为故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.5．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设， ，即，即，故是奇函数，由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续. 在上有，∴，故在单调递增，又 是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增， ，∴，即，∴，故，故选：B．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.6．已知是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有(e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据，构造函数，由，设，g0)=f(0)=3,得到，再利用导数研究其单调性，极值，最值，画出图象求解即可.【详解】因为，所以，令，所以，所以，，又f(0)=3，解得，所以，所以，当时，或，当时，，所以在和上递增，在上递减，所以的极大值是，极小值是，因为方程f(x)=m恰有三个实数根，如图所示：所以，所以则实数m的取值范围是故选：D【点睛】本题主要考查了构造函数利用导数研究函数的单调性，极值，最值方程的根，还考查了转化化归思想，数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用导数求得函数的单调性与最值，求解，转化为或，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.【详解】设，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，由方程可化为，解得或，画出函数的图象，如图所示，要使得关于的方程有5个不同的实数根，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A【点睛】对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，...