第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题体验]1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3)D．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组表示的平面区域是()答案：B3．(2018·浙江名校联考)若x，y满足则不等式组表示的平面区域的面积为________，z＝y－x的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得M(5,10)，N(5，－2)，所以S△OMN＝×(10＋2)×5＝30.由z＝y－x，得y＝x＋z，作出直线y＝x，平移直线y＝x，易知当直线z＝y－x经过可行域内的点M(5,10)时，目标函数z＝y－x取得最大值，且zmax＝10－5＝5.答案：3051．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c＞0(a＞0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等式组所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.答案：6[题组练透]1．(易错题)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A．－3B．－2C．－1D．0解析：选C不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．2．(2019·嘉兴高三基础测试)若不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C如图所示，当直线x＋y＝a在直线x＋y＝(该直线经过直线x－y＝0和直线3x＋y＝3的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a＜，故选C.3．(2018·浙江名校联考)若实数x，y满足则点P(x＋y，x－y)形成的区域的面积为________，能覆盖此区域(含边界)的圆的最小半径为________．解析：令得则原不等式组可化为所以点P形成的区域如图中阴影部分所示，易知A(2,0)，B，C(3，－1)．设点B到AC的距离为d，则S△ABC＝|AC|·d＝××＝.所求半径最小的圆即△ABC的外接圆，AC，AB的垂直平分线分别为直线y＝x－3，y＝－3x＋，求得交点坐标，即圆心坐标为，所以半径为.答案：[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题．[题点全练...