§2.4基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析掌握基本不等式≤(a，b＞0)及其应用.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．常在解答题中考查，难度为中档.1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y＝x＋的最小值是2吗？提示不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(×)(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(×)(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(×)(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二教材改编2．[P100A组T1]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82答案C解析 x>0，y>0，∴≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3．[P100A组T2]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析设矩形的一边为xm，面积为ym2则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m,0<x<10，∴y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三易错自纠4．“x>0”是“x＋≥2成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析当x>0时，x＋≥2＝2.因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.5．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()A．2B．3C．4D．5答案D解析由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.故选D.6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a，b∈R)，则a＋2b的最大值为________．答案0解析因为2＝2a＋4b≥2，当且仅当a＝b＝0时等号成立，所以a＋2b≤0，即a＋2b的最大值为0.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．答案解析x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．(2)(2019·台州质检)当x>0时，x＋(a>0)的最小值为3，则实数a的值为________．答案4解析因为当x>0，a>0时，x＋＝x＋1＋－1≥2－1，当且仅当x＋1＝时，等号成立，又x＋(a>0)的最小值为3，所以2－1＝3，解得a＝4.命题点2常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a>0，b>0，且满足a＋2b＝2.若不等式abt＋(t－2)a－b≤1恒成立，则实数t的取值范围是________．答案解析因为对于任意的a>0，b>0，a＋2b＝2，不等式abt＋(t－2)a－b≤1恒成立，即＋≥t恒成立．因为＋＝＝＋＋≥＋1＝，当且仅当＝，即a＝b＋1＝，b＝时，取到最小值，所以t≤.命题点3消元法例3已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝()A．有最大值B．有最小值C．有最小值3D．有最大值3答案B解析 a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又 a，b>0，∴≤，∴－≥－，∴u＝＝3－≥3－＝3－≥3－＝，当且仅当a＝2，b＝8时取等号．故选B.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵...