第一讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin3x按照伸缩变换{x'=2x,y'=3y后得到的曲线方程为()A.y=3sin32xB.y=3sin3xC.y=3sin6xD.y=13sin32x解析由伸缩变换,得{x=x'2,y=y'3.将其代入y=sin3x,有y'3=sin32x',即y'=3sin32x'.所以变换后的曲线方程为y=3sin32x.答案A2.在极坐标系中,已知M(-5,π3),则下列所给出的不能表示点M的坐标的是()A.(5,-π3)B.(5,4π3)C.(5,-2π3)D.(-5,-5π3)答案A3.若点A的球坐标为(5,3π4,3π4),则它的直角坐标为()A.(-52,52,-5❑√22)B.(-52,52,5❑√22)C.(-52,-52,5❑√22)D.(52,52,-5❑√22)解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=rsinφcosθ=5·sin3π4cos3π4=-52,y=rsinφsinθ=5sin3π4sin3π4=52,z=rcosφ=5cos3π4=-5❑√22,所以直角坐标为(-52,52,-5❑√22).答案A4.在极坐标系中,过点(2,π3)且与极轴垂直的直线方程为()A.ρ=-4cosθB.ρcosθ-1=0C.ρsinθ=-❑√3D.ρ=-❑√3sinθ解析设M(ρ,θ)为直线上除(2,π3)以外的任意一点,则有ρcosθ=2·cosπ3,则ρcosθ=1,经检验(2,π3)符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcosθ-1=0.答案B5.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是()A.(1,π2)B.(1,3π2)C.(1,0)D.(1,π)解析由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,3π2).答案B6.可以将椭圆x210+y28=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换是()A.{5x'=2x,❑√2y'=yB.{❑√2x'=❑√5x,y'=❑√2yC.{❑√2x'=x,❑√5y'=❑√2yD.{❑√5x'=❑√2x,❑√2y'=y解析将x2+y2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为{x'=λx(λ>0),y'=μy(μ>0),将其代入x'2+y'2=4,得λ2x2+μ2y2=4,即λ2x24+μ2y24=1,与椭圆x210+y28=1,比较系数得{λ24=110,μ24=18,解得{λ=❑√2❑√5,μ=1❑√2.故满足题意的伸缩变换为{x'=❑√2❑√5x,y'=1❑√2y,即{❑√5x'=❑√2x,❑√2y'=y.答案D7.在极坐标系中,圆ρ=22sinθ的圆心到极轴的距离为()A.11B.11❑√2C.11❑√3D.22解析由圆的极坐标方程ρ=22sinθ,得ρ2=22ρsinθ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.答案A8.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析圆ρ=2cosθ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-❑√3y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=|1-❑√3×0+1|2=1=r,所以直线与圆相切.答案B9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sinθ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16解析由直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.答案B10.导学号73574029在球坐标系中,集合M={(r,φ,θ)|2≤r≤6,0≤φ≤π2,0≤θ<2π}表示的图形的体积为()A.416π3B.146π3C.614π3D.461π3解析由球坐标中r,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=12(4π3×63-4π3×23)=12×4π3×208=416π3.答案A11.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=π2(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=π2(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1解析由题意可知圆ρ=2cosθ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=π2(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.答案B12.导学号73574030圆ρ=r与圆ρ=-2rsin(θ+π4)(r>0)的公共弦所在直线的方程为()A.2ρ(sinθ+cosθ)=rB.2ρ(sinθ+cosθ)=-rC.❑√2ρ(sinθ+cosθ)=rD.❑√2ρ(sinθ+cosθ)=-r解析圆ρ=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,①圆ρ=-2rsin(θ+π4)=-2r(sinθcosπ4+cosθsinπ4)=-❑√2r(sinθ+cosθ),两边同乘ρ,得ρ2=-❑√2r(ρsinθ+ρcosθ),所以x2+y2+❑√2rx+❑√2ry=0,②由①-②,并化简得❑√2(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线❑√2(x+y)=-r化为极坐标方程为❑√2ρ(cosθ+sinθ)=-r....